Faktorisering av uttrykk

I drillheftet Parenteser lærte du at

2 (1 + 2) = 2 + 4

og at

x (2 - 3) = 2 x - 3 x,

men hvordan finner du ut at $2 + 4 = 2 (1 + 2)$ ? Å regne motsatt vei av det du har lært til nå er det du skal se nærmere på her.

Parenteser og uttrykk

Hvis du har et uttrykk som du ønsker å faktorisere bruker du følgende metode.

Regel

1.: Primtallsfaktoriser alle tallene i uttrykket.
2.: Hvis alle tallene har en felles faktor (eller evt. flere felles faktorer) lager du en parentes rundt uttrykket og setter denne faktoren på utsiden.
3.: Alle tallene i parentesen skal reduseres med denne faktoren.

Dette kan best læres gjennom et eksempel.

Eksempel 1

Du skal faktorisere uttrykket $2 + 4$

Følger du metoden ovenfor er $2 = 2 \cdot 1$ og $4 = 2 \cdot 2$ . Dermed er

2 + 4 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2

Her er 2 en felles faktor som du setter på utsiden, og da må du fjerne en 2’er fra hvert ledd inne i parentesen.

\begin{array}{l} 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & = 2 (2 \cdot 1 + 2 \cdot 2) \\ = 2 (1 + 2) \end{array}

2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 2 (2 \cdot 1 + 2 \cdot 2) = 2 (1 + 2)

Du sjekker at de to uttrykkene gir samme svar.

2 + 4 = 6

2 (1 + 2) = 2 \cdot 3 = 6

, dermed vet du at faktoriseringen er gjort riktig.

Faktorisering har overraskende mange bruksområder, her skal du se på noen av dem.

Ofte må du sette flere faktorer utenfor parentesen. Du ser på et eksempel.

Eksempel 2

Du skal faktorisere uttrykket $3 x - 6 x + 12 x$

Faktorisering av hvert ledd gir

\begin{array}{l} 3 x & = 3 \cdot 1 \cdot x \\ 6 x & = 3 \cdot 2 \cdot x \\ 12 x & = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \end{array}

Felles faktorer for alle leddene er 3 og $x$ , dette gir

\begin{array}{l} 3 x - 6 x + 12 x \\ = 3 \cdot 1 \cdot x - 3 \cdot 2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \\ = 3 \cdot x (1 - 2 + 2 \cdot 2) \\ = 3 x (1 - 2 + 4) \end{array}

\begin{array}{l} 3 x - 6 x + 12 x & = 3 \cdot 1 \cdot x - 3 \cdot 2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \\ = 3 \cdot x (1 - 2 + 2 \cdot 2) \\ = 3 x (1 - 2 + 4) \end{array}

Det er lett å sjekke at

3 x (1 - 2 + 4) = 3 x - 6 x + 12 x,

og dermed vet du at du har fått riktig svar (prøv selv!).

Dette gir deg en regel.

Regel

\begin{array}{l} a b + a c & = a (b + c) \\ a b - a c & = a (b - c) \end{array}

Her er et eksempel med potenser:

Eksempel 3

Du skal faktorisere $12 a^{2} + 3 a^{3} + 6 a^{5} + 24 a$

Ved å faktorisere hvert ledd hver for seg, vil du se at 3 og $a$ er felles faktorer for alle leddene (prøv selv!).

Dermed vil uttrykket bli

\begin{array}{l} 12 a^{2} + 3 a^{3} + 6 a^{5} + 24 a \\ = 3 a (4 a + a^{2} + 2 a^{4} + 8) . \end{array}

12 a^{2} + 3 a^{3} + 6 a^{5} + 24 a = 3 a (4 a + a^{2} + 2 a^{4} + 8) .