Hvordan gange komplekse tall

Her vil du lære om multiplikasjon av komplekse tall både på kartesisk form og på polarform.

Kartesisk form

På kartesisk form ganger du komplekse tall sammen ledd for ledd. Dette gjør du på samme måte som multiplikasjon av vanlige algebraiske uttrykk med parenteser. Når du ganger sammen komplekse tall må du huske at den imaginære enheten $i$ har egenskapen $i^{2} = - 1$ :

Formel

Multiplikasjon på kartesisk form

z_{1} = a + b i

z_{2} = c + d i

være komplekse tall. Da er:

\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} & = (a + b i) (c + d i) \\ = a c + a d i + b c i + b d i^{2} \\ = (a c - b d) + (a d + b c) i . \end{array}

Produktet av to komplekse tall blir ett nytt komplekst tall. I et matematisk språk beskrives denne egenskapen som at mengden av komplekse tall $ℂ$ er lukket under multiplikasjon.

Eksempel 1

Finn $z_{1} \cdot z_{2}$ og $z_{2} \cdot z_{3}$ for de komplekse tallene $z_{1} = 3 i$ , $z_{2} = 5 + 2 i$ og $z_{1} = 1 - i$

Du finner $z_{1} \cdot z_{2}$ ved å gange $z_{1}$ med begge leddene i $z_{2}$ : $\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} & = 3 i \cdot (5 + 2 i) \\ = 3 i \cdot 5 + 3 i \cdot 2 i \\ = 15 i + 6 i^{2} \\ = - 6 + 15 i . \end{array}$

For å finne $z_{2} \cdot z_{3}$ ganger du begge leddene i $z_{2}$ med begge leddene i $z_{3}$ :

\begin{array}{l} z_{2} \cdot z_{3} \\ = (5 + 2 i) \cdot (1 - i) \\ = 5 \cdot 1 + 5 \cdot (- i) \\ + 2 i \cdot 1 + 2 i \cdot (- i) \\ = 5 - 5 i + 2 i - 2 i^{2} \\ = (5 + 2) + (- 5 + 2) i \\ = 7 - 3 i . \end{array}

\begin{array}{l} z_{2} \cdot z_{3} & = (5 + 2 i) \cdot (1 - i) \\ = 5 \cdot 1 + 5 \cdot (- i) + 2 i \cdot 1 + 2 i \cdot (- i) \\ = 5 - 5 i + 2 i - 2 i^{2} \\ = (5 + 2) + (- 5 + 2) i \\ = 7 - 3 i . \end{array}

Polarform

Om du skriver komplekse tall ved å bruke den komplekse eksponentialfunksjonen, kan du gange sammen komplekse tall ved å bruke vanlige regneregler for potensregning:

Formel

Multiplikasjon på polarform

La $z_{1} = r_{1} e^{i 𝜃_{1}}$ og $z_{2} = r_{2} e^{i 𝜃_{2}}$ være komplekse tall. Da er:

\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} & = r_{1} e^{i 𝜃_{1}} \cdot r_{2} e^{i 𝜃_{2}} \\ = (r_{1} \cdot r_{2}) e^{i 𝜃_{1} + i 𝜃_{2}} \\ = r_{1} r_{2} e^{i (𝜃_{1} + 𝜃_{2})} . \end{array}

Når du ganger sammen to komplekse tall på polarform ganger du normene og legger argumentene sammen. Dette kan visualiseres i det komplekse plan:

Geometrisk fremstilling av multiplikasjon av komplekse tall.

Multiplikasjon av komplekse tall kan tenkes på som en rotasjon og skalering i det komplekse planet. For eksempel svarer multiplikasjon med den imaginære enheten $i$ til en rotasjon på $90 °$ eller $\frac{π}{2}$ radianer fordi $i$ har norm $1$ og argument $\frac{π}{2}$ .

Eksempel 2

Finn $z_{3} = r_{3} e^{i 𝜃_{3}} = z_{1} \cdot z_{2}$ når $z_{1} = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ og $z_{2} = 4 e^{i \frac{π}{6}}$

Normen til $z_{3}$ finner du ved å gange sammen normene til $z_{1}$ og $z_{2}$ :

r_{3} = 2 \cdot 4 = 8 .

Argumentet til $z_{3}$ finner du ved å legge sammen argumentene til $z_{1}$ og $z_{2}$ :

𝜃_{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} .

Produktet $z_{3}$ blir da:

z_{3} = 8 e^{i \frac{π}{2}} = 8 i .

Egenskaper ved multiplikasjon

På lik linje med de reelle tallene gjelder den kommutative, assosiative og distributive loven for multiplikasjon av komplekse tall:

Regel

Kommutativ, assosiativ og distributiv lov

For alle komplekse tall $z_{1}$ , $z_{2}$ og $z_{3}$ gjelder den kommutative loven:

z_{1} \cdot z_{2} = z_{2} \cdot z_{1},

den assosiative loven:

(z_{1} \cdot z_{2}) \cdot z_{3} = z_{1} \cdot (z_{2} \cdot z_{3}),

og den distributive loven:

z_{1} \cdot (z_{2} + z_{3}) = z_{1} \cdot z_{2} + z_{1} \cdot z_{3} .

Den kommutative og den assosiative loven sier at du fritt kan bytte om rekkefølgen på tall og parenteser så lenge regnestykket kun inneholder multiplikasjon. Den distributive loven sier at du kan gange komplekse tall inn i parenteser og faktorisere komplekse tall.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Addisjon og subtraksjon av komplekse tall

Neste oppslag

Hvordan forenkle komplekse brøker

Tilbake