>Алгебраїчні тотожності>Формула виділення квадрата

Формула виділення квадрата

Видiлення квадрата означає додавання двох додаткових доданкiв, що дає змогу записати квадратний вираз у iнший спосiб. Це допомагає зробити вираз простiшим i легшим для аналiзу. Запам’ятати цей метод можна так:

Правило

Пам’ятка з видiлення квадрата

1.: Роздiли навпiл
2.: Пiднеси до квадрата
3.: Додай
4.: Вiднiми

Зверни увагу! Якщо ми додаємо i вiднiмаємо те саме число, то насправдi не змiнюємо значення виразу!

Квадратний вираз має форму

a x^{2} + b x + c

Ми пiдносимо вираз iз $x$ до квадрата i записуємо вираз так:

a {(x - x_{0})}^{2} + d,

а отже,

a x^{2} + b x + c = a {(x - x_{0})}^{2} + d .

Якщо $d = 0$ , вираз є повним квадратом, тобто виразом, у якому можна використати першу або другу алгебраїчну тотожнiсть квадратних виразiв. Отже, ми використовуємо цi алгебраїчнi тотожностi, але у зворотному порядку. Далi описано, як це робиться, разом iз остаточною формулою:

Правило

Видiлення квадрата

Дано вираз у виглядi $a x^{2} + b x + c$ . Потрiбно видiлити квадрат. $a$ $a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ . $a = 1$ . Спочатку треба винести за дужки коефiцiєнт $a$ та записати вираз у виглядi $a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ . Цей крок можна пропустити, якщо $a = 1$ .

Роздiли навпiл:: $\frac{b}{a}$ — це число, що стоїть перед доданком $x$ усерединi дужок. Дiлимо це число на 2. Отримуємо $\frac{b}{2 a}$ .
Пiднеси до квадрата:: $\frac{b}{2 a}$ потрiбно пiднести до квадрата. Отримуємо ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ .
Додай:: Беремо вираз ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ i додаємо його пiсля $\frac{b}{a} x$ .
Вiднiми:: Беремо той самий вираз, ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ , i вiднiмаємо його пiсля $+ {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ .

Весь вираз має такий вигляд:

\begin{array}{l} a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}) \\ = a {(x - x_{0})}^{2} + d . \end{array}

\begin{array}{l} a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}) = a {(x - x_{0})}^{2} + d . \end{array}

Зверни увагу! У формулi $a {(x - x_{0})}^{2} + d$ — це $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , а $d = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$ .

Приклад 1

Видiли квадрат $x^{2} + 4 x + 3$ i запиши у виглядi $a {(x - x_{0})}^{2} + d$

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 3 \\ = x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 3 \\ = x^{2} + 4 x + 2^{2} - 2^{2} + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 1 \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 3 & = x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 3 \\ = x^{2} + 4 x + 2^{2} - 2^{2} + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 1 \end{array}

Приклад 2

Доведи, що вираз $x^{2} - 12 x + 36$ — це повний квадрат

\begin{array}{l} x^{2} - 12 x + 36 \\ = x^{2} - 12 x + {(\frac{- 12}{2})}^{2} - {(\frac{- 12}{2})}^{2} + 36 \\ = x^{2} - 12 x + 6^{2} - 6^{2} + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} - 36 + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} - 12 x + 36 & = x^{2} - 12 x + {(\frac{- 12}{2})}^{2} - {(\frac{- 12}{2})}^{2} + 36 \\ = x^{2} - 12 x + 6^{2} - 6^{2} + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} - 36 + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} \end{array}

Оскiльки

d = 0

, вираз

x^{2} - 12 x + 36

є повним квадратом.

Приклад 3

Знайди мiнiмум i максимум функцiї $f (x) = x^{2} - 3 x + 12$ , видiливши квадрат

\begin{array}{l} f (x) & = x^{2} - 3 x + {(\frac{- 3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + \frac{48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9 + 48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{57}{4} \end{array}

\begin{array}{l} f (x) & = x^{2} - 3 x + {(\frac{- 3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + \frac{48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9 + 48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{57}{4} \end{array}

Оскiльки

a > 0

, то ми знаємо, що ця функцiя має мiнiмум. Тодi значення

x

стає

x - \frac{3}{2} = 0

, тобто

x = \frac{3}{2}

. Значення

y

стає

d = - \frac{57}{4}

. Тодi мiнiмум функцiї має такi координати:

(\frac{3}{2}, - \frac{57}{4})

Попередня стаття

Третя алгебраїчна тотожність квадратних виразів

Повернутися