>Раціональні рівняння>Розв’язування раціональних рівнянь із х у знаменнику

Розв’язування раціональних рівнянь із х у знаменнику

У попереднiй статтi ми з’ясовували, як позбутися дробiв iз вiльними членами, або числами, у знаменнику i змiнною, наприклад $x$ , у чисельнику.

Тепер ми навчимося позбуватися дробiв iз змiнною в знаменнику. Гарна новина в тому, що всi кроки, крiм останнього, в обох методах iдентичнi! Останнiй крок — це перевiрка на наявнiсть стороннiх розв’язкiв, якi є недiйсними розв’язками, що траплялися пiд час процесу.

Щоб знайти спiльний знаменник, множимо всi знаменники в рiвняннi.

Щойно ти все це зрозумiєш — опануєш рацiональнi рiвняння!

Правило

1.: Знайди спiльний знаменник.
2.: Помнож усi члени на спiльний знаменник i скороти. Нижче ти помiтиш, що я беру чисельники в круглi дужки.
3.: Дотримуйся черговостi операцiй ДСМДДВ! Спершу розкрий дужки.
4.: Перенеси всi члени, що складаються лише з чисел, по один бiк рiвняння. Змiнивши бiк, не забудь змiнити знак.
5.: Перенеси всi члени з $x$ по iнший бiк рiвняння. Змiнивши бiк, не забудь змiнити знак.
6.: Об’єднай та спрости члени з обох бокiв рiвняння.
7.: Помнож або подiли обидвi частини рiвняння на число, яке стоїть перед $x$ .

Помiркуй

Я настiйно рекомендую розв’язувати багато задач iз рацiональними рiвняннями. Коли ти закрiпиш цей метод у пам’ятi, тобi буде складно його забути. Крiм того, засвоївши його, ти також засвоїш алгебраїчнi та арифметичнi операцiї з дробами. Це успiх!

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння вiдносно $x$
$\frac{x + 1}{x} + 2 = \frac{3}{x + 1} + 3$

Множимо всi члени на спiльний знаменник, який становить $x (x + 1)$ :

\begin{array}{l} x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} \\ + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{x + 1} \\ + 3 \cdot x (x + 1) \\ x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} \\ + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{(x+1)} \\ + 3 \cdot x (x + 1) \\ (x + 1) (x + 1) \\ + 2 x (x + 1) & = x \cdot 3 \\ + 3 x (x + 1) \\ x^{2} + 2 x + 1 + \\ 2 x^{2} + 2 x & = 3 x + 3 x^{2} + 3 x \end{array}

\begin{array}{l} x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{x + 1} + 3 \cdot x (x + 1) \\ x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} + 2 \cdot x (x + 1) & = x \cdot \frac{3}{(x+1)} + 3 \cdot x (x + 1) \\ (x + 1) (x + 1) + 2 x (x + 1) & = x \cdot 3 + 3 x (x + 1) \\ x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 2 x & = 3 x + 3 x^{2} + 3 x \end{array}

Тепер переносимо всi члени з

x

по один бiк, а всi члени, що складаються лише з чисел — по iнший бiк:

x^{2} + 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x + 2 x - 3 x - 3 x = - 1

Спрощуємо вираз:

- 2 x = - 1

Нарештi, дiлимо на число, що стоїть перед $x$ : $\begin{array}{l} \frac{-2 x}{-2} & = - \frac{1}{- 2} \\ x & = \frac{1}{2} \end{array}$

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння

\frac{3 x}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x - 2}

вiдносно $x$

Множимо на спiльний знаменник
$x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ :

\begin{array}{l} (x^{2} - 4) \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x + 2)} \\ - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x - 2)} \\ \cdot \frac{3 x}{x^{2}-4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x+2)} \\ - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x-2)} \\ 3 x & = (x - 2) \cdot 2 - (x + 2) \cdot 2 \\ 3 x & = 2 x - 4 - 2 x - 4 \end{array}

\begin{array}{l} (x^{2} - 4) \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x + 2)} - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x - 2)} \\ \cdot \frac{3 x}{x^{2}-4} & = (x - 2) \cdot \frac{2}{(x+2)} - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x-2)} \\ 3 x & = (x - 2) \cdot 2 - (x + 2) \cdot 2 \\ 3 x & = 2 x - 4 - 2 x - 4 \end{array}

Перемiщуємо всi члени з

x

по один бiк, а всi константи — по iнший бiк:

3 x - 2 x + 2 x = - 4 - 4

Спрощуємо вираз:

3 x = - 8

Дiлимо на число, що стоїть перед $x$ : $\begin{array}{l} \frac{3 x}{3} & = \frac{- 8}{3} \\ x & = - \frac{8}{3} \end{array}$

Приклад 3

Розв’яжи рiвняння

\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} = \frac{9}{x^{2} - 3 x}

Якщо можливо, розклади знаменники на множники, щоб знайти значення $x$ , за яких вираз невизначений.

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

Як бачимо, з множникiв у знаменниках є лише $x$ та $x - 3$ . Отже,

- 3 = 0 \Rightarrow x = 3 i x = 0

є значеннями $x$ , за яких вираз невизначений. Знаходимо спiльний знаменник, помноживши мiж собою рiзнi множники. Спiльний знаменник — це

x (x - 3) .

Тепер розв’язуємо рiвняння:

\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x^{2} - 3 x}, x \neq 0, 3 \\ \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x (x - 3)} | \cdot x (x - 3) \\ x \cdot x - 2 \cdot (x - 3) & = 9 \\ x^{2} - 2 x + 6 - 9 & = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 & = 0 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x^{2} - 3 x}, x \neq 0, 3 \\ \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x (x - 3)} | \cdot x (x - 3) \\ x \cdot x - 2 \cdot (x - 3) & = 9 \\ x^{2} - 2 x + 6 - 9 & = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 & = 0 \end{array}

Застосовуємо квадратну формулу, щоб розкласти лiву частину рiвняння на множники:

(x - 3) (x + 1) = 0

Отримуємо розв’язки

x_{1} = 3 and x_{2} = - 1

Оскiльки $x = 3$ є одним зi значень, за яких вираз невизначений, вiдповiдь буде $x = - 1$ .

Попередня стаття

Як розв'язувати рівняння з дробами

Повернутися