Квадратні числа, кубичні числа, трикутні числа та інші фігурні числа

Квадратнi числа

Послiдовнiсть квадратних чисел

складається з квадратiв цiлих чисел. Квадрат — це число, помножене саме на себе.

$1\cdot 1=1$, перше число в послiдовностi, — це квадрат числа $1$, що дорiвнює $1^2=1$.

$2\cdot 2=4$, друге число в послiдовностi, — це квадрат числа $2$, що дорiвнює $2^2=4$.

$3\cdot 3=9$, третє число в послiдовностi, — це квадрат числа $3$, що дорiвнює $3^2=9$.

$4\cdot 4=16$, четверте число в послiдовностi, — це квадрат числа $4$, що дорiвнює $4^2=16$.

$n\cdot n=n^2$, довiльне число в послiдовностi, — це квадрат $n$, що дорiвнює $f(n)=n^2$.

Знайди сьомий член послiдовностi. Для цього достатньо пiдставити $n=7$ у формулу:

Кубiчнi числа

Формула знаходження $n$-го члена послiдовностi кубiчних чисел має вигляд $f_n=n^3$. На рисунку нижче показано, як змiнюється послiдовнiсть вiд члена до члена:

Прямокутнi числа

Послiдовнiсть прямокутних чисел

складається з добуткiв послiдовних цiлих чисел на осi дiйсних чисел. Це означає, що кожне число вiдповiдає площi прямокутника зi сторонами, якi дорiвнюють двом послiдовним цiлим числам.

Площа прямокутника розраховується як його довжина, помножена на ширину.

$1\cdot 2=2$. Перше число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $1$ i $2$.

$2\cdot 3=6$. Друге число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $2$ i $3$.

$3\cdot 4=12$. Третє число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $3$ i $4$.

$4\cdot 5=20$. Четверте число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $4$ i $5$.

$f=n\cdot (n+1)$. $n$-й член послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $n$ i $n+1$.

Одна зi сторiн цього прямокутника дорiвнює $n$. Iнша сторона прямокутника — це цiле число, що йде пiсля $n$ на осi дiйсних чисел, тобто $n+1$. На другiй фiгурi, де $n=2$, одна сторона прямокутника дорiвнює $2$, а iнша сторона дорiвнює $n+1=2+1=3$.

Щоб знайти восьмий член послiдовностi, пiдставляємо $n=8$ у формулу i отримуємо

Трикутнi числа

Послiдовнiсть

називають «трикутними числами». Вона складається з половини площi прямокутника зi сторонами $n$ i $n+1$. На рисунку нижче зображено прямокутники, в яких замальовано лише половину кульок. Замальованi кульки вiдповiдають трикутним числам.

З’ясуймо, що станеться, якщо помножити сторони прямокутника одна на одну, а потiм подiлити вiдповiдь на $2$:

Площа прямокутника зi сторонами, що вiдповiдають послiдовним цiлим числам, дорiвнює

Якщо подiлити її на $2$, отримаємо площу трикутникiв. А отже, формула має вигляд

Знайди шостий член послiдовностi. Просто пiдстав $n=6$ у формулу — i отримаєш $\frac{6\cdot 7}{2}=21$.

На рисунках зображено фiгурнi числа:

Якщо уважно поглянути на цi фiгури, стане зрозумiлим, що їх можна розбити на двi групи:

Як бачиш, фiгури складаються з квадратного i трикутного чисел. Оскiльки ми вже знаємо формули для цих чисел, то поєднуємо їх, щоб скласти формулу для цiєї особливої послiдовностi: