>Добутки та розрахунки з векторами>Як знайти скалярний добуток двох векторів (2D)

Як знайти скалярний добуток двох векторів (2D)

Скалярний добуток — це одна з найважливiших математичних операцiй iз векторами, насамперед через те, що показує, чи є два вектори перпендикулярними (кут мiж ними дорiвнює $90$ °) чи нi. Якщо два вектори перпендикулярнi один одному, їх називають ортогональними. Правило сформульовано так:

Правило

Ортогональнi вектори

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}

Мiж виразами стоїть знак еквiвалентностi. Це означає, що якщо один з них iстинний, то й iнший також є iстинним.

Є двi формули знаходження скалярного добутку. Одна використовується, коли вектори мають координатну форму, а iнша — коли вiдомi довжина векторiв i кут мiж ними.

Формула

Скалярний добуток

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) \\ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

Приклад 1

Визнач, чи є вектори $(- 4, 5)$ i $(2, 3)$ ортогональними.

\begin{array}{l} (- 4, 5) \cdot (2, 3) & = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \\ = - 8 + 15 \\ = 7 \neq 0 \end{array}

(- 4, 5) \cdot (2, 3) = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = - 8 + 15 = 7 \neq 0

Оскiльки скалярний добуток не дорiвнює нулю, вектори не є ортогональними.

Приклад 2

Знайди скалярний добуток векторiв $\vec{u}$ i $\vec{v}$ , якщо $| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 5$ , а кут мiж ними $α = 90 °$ .

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α \\ = 3 \cdot 5 \cdot \cos 90 ° \\ = 3 \cdot 5 \cdot 0 \\ = 0 \end{array}

Оскiльки скалярний добуток дорiвнює

0

, вектори

\vec{u}

\vec{v}

є ортогональними.

Приклад 3

Знайди $t$ , за якого вектори $(- 2, 5)$ i $(2 t, 9)$ будуть ортогональними.

Щоб два вектори були ортогональними, скалярний добуток має дорiвнювати $0$ . $\begin{array}{l} (- 2, 5) \cdot (2 t, 9) & = 0 \\ - 4 t + 45 & = 0 \\ t & = \frac{45}{4} \end{array}$

Вектори є ортогональними, коли $t = \frac{45}{4}$ . У цьому разi другий вектор

(2 t, 9) = (\frac{45}{2}, 9) .

Попередня стаття

Як знайти паралельні вектори

Наступна стаття

Як знайти кут між двома векторами?

Повернутися