Як знайти медіани трикутника за допомогою векторів

Можемо скористатися знаннями про теорему медiан або ж виконати всю брудну роботу самостiйно. У будь-якому випадку потрiбно знайти середини сторiн $K$, $L$ i $M$, а також вектори

Отримуємо

$$\begin{array}{llll}\hfill \overrightarrow{OK}& =\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}& \hfill & \\ \hfill & =\left(-2,-4\right)+\frac{1}{2}\left(3,10\right)& \hfill & \\ \hfill & =\left(-\frac{1}{2},1\right)& \hfill & \\ \hfill & \Downarrow & \hfill & \\ \hfill K& =\left(-\frac{1}{2},1\right),& \hfill & \\ \hfill \overrightarrow{OL}& =\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}& \hfill & \\ \hfill & =\left(3,-5\right)+\frac{1}{2}\left(-2,11\right)& \hfill & \\ \hfill & =\left(2,\frac{1}{2}\right)& \hfill & \\ \hfill & \Downarrow & \hfill & \\ \hfill L& =\left(2,\frac{1}{2}\right),& \hfill & \\ \hfill \overrightarrow{OM}& =\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}& \hfill & \\ \hfill & =\left(-2,-4\right)+\frac{1}{2}\left(5,-1\right)& \hfill & \\ \hfill & =\left(\frac{1}{2},\frac{-9}{2}\right)& \hfill & \\ \hfill & \Downarrow & \hfill & \\ \hfill M& =\left(\frac{1}{2},-\frac{9}{2}\right).& \hfill & \end{array}$$

Це, своєю чергою, дає

Точка перетину $P$ має двi координати ($x$ i $y$), тому потрiбно скласти два рiвняння, щоб знайти набiр координат. Для цього складаємо два вирази, використовуючи двi рiзних суми векторiв, якi дають $P$. Далi розв’язуємо систему рiвнянь, щоб знайти двi координати $P$. Розв’язуємо систему рiвнянь: Те, що $t=s=\frac{2}{3}$, лише пiдтверджує теорему про медiану: медiани перетинаються на $\frac{2}{3}$ вiдстанi вiд вершин до середини протилежних сторiн трикутника. Нарештi, пiдставляємо значення $t$ або $s$ у один з виразiв, складених для $P$, i знаходимо координати точки:

$$\begin{array}{llll}\hfill P=\left(x,y\right)& =\left(1,6\right)-\frac{2}{3}\left(2,21\right)& \hfill & \\ \hfill & =\left(1,6\right)-\left(\frac{4}{3},14\right)& \hfill & \\ \hfill & =\left(\frac{-1}{3},-8\right).& \hfill & \end{array}$$