>Інтеграли>Які є важливі правила інтегрування?

Які є важливі правила інтегрування?

Iнтегрування вiдносно диференцiювання — це те саме, що знак плюс щодо знаку мiнус. Тобто подiбно до того, як мiнус змiнює на протилежне те, що робить плюс, i навпаки, iнтегрування змiнює те, що робить диференцiювання, i навпаки. Це означає, що iнтегрування є пошуком антипохiдної. З’ясувавши це, отримуємо метод для перевiрки правильностi наших iнтегралiв: пiсля iнтегрування можемо диференцiювати вiдповiдь, щоб з’ясувати, чи отримаємо ми початковий вираз, який iнтегрували, так звану пiдiнтегральну функцiю (вираз мiж знаком iнтеграла та $d x$ ).

Нижче наведено перелiк iнтегралiв кiлькох вiдомих i важливих функцiй. Потрiбно вивчити цi правила напам’ять. Рекомендую запам’ятати їх i завжди записувати формулу, перш нiж застосовувати для розв’язання завдань.

Формула

Формули iнтегрування

\begin{array}{l} \int k d x = k x + C \\ \int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C, n \neq - 1 \\ \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C, x \neq 0 \\ \int \ln k x d x = x \ln k x - x + C \\ \int e^{x} d x = e^{x} + C \\ \int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C \\ \int \cos x d x = \sin x + C \\ \int \cos k x d x = \frac{1}{k} \sin k x + C \\ \int \sin x d x = - \cos x + C \\ \int \sin k x d x = - \frac{1}{k} \cos k x + C \\ \int \tan x d x = - \ln | \cos x | + C, \\ x \neq \frac{π}{2} + n π \\ \int \tan k x d x = - \frac{1}{k} \ln | \cos k x | + C \\ \int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \\ \int \frac{1}{k x + a} d x = \frac{1}{k} \ln | k x + a | + C \end{array}

\begin{array}{l} \int k d x = k x + C \\ \int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C, n \neq - 1 \\ \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C, x \neq 0 \\ \int \ln k x d x = x \ln k x - x + C \\ \int e^{x} d x = e^{x} + C \\ \int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C \\ \int \cos x d x = \sin x + C \\ \int \cos k x d x = \frac{1}{k} \sin k x + C \\ \int \sin x d x = - \cos x + C \\ \int \sin k x d x = - \frac{1}{k} \cos k x + C \\ \int \tan x d x = - \ln | \cos x | + C, x \neq \frac{π}{2} + n \cdot π \\ \int \tan k x d x = - \frac{1}{k} \ln | \cos k x | + C \\ \int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \\ \int \frac{1}{k x + a} d x = \frac{1}{k} \ln | k x + a | + C \end{array}

Зверни увагу! Константа

C

не така загадкова, як може здатися. Вона представляє можливу константу, яка зникає пiд час диференцiювання. Оскiльки ми не знаємо значення константи,

C

може бути будь-яким числом.

Попередня стаття

Для чого використовуються суми Рімана?

Наступна стаття

Які основні співвідношення в інтегруванні потрібно знати?

Повернутися