>Типи функцій>Що таке раціональні функції?

Що таке раціональні функції?

Функцiї з $x$ у знаменнику називають рацiональними функцiями. Вони мають дробову форму i мають асимптоти. Асимптоти — це невидимi лiнiї в системi координат, до яких рухається графiк, але яких нiколи не досягає. Графiки рацiональних функцiй можуть мати вигляд, як на рисунку нижче.

Теорiя

Рацiональна функцiя

Рацiональна функцiя виражається в такому виглядi:

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)},

де $g (x)$ i $h (x)$ — многочлени.

Графiки рацiональних функцiй f(x), g(x) i h(x), побудованих у однiй системi координат

На рисунку вище зображено графiки таких функцiй:

\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{x} g (x) = \frac{2 x}{x + 1} h (x) = \frac{x^{2} + 6 x - 3}{x^{5} + x^{3} - 1} \end{array}

Гiперболи належать до найпростiших рацiональних функцiй. Гiпербола – це зв’язок мiж двома лiнiйними функцiями, $a x + b$ i $c x + d$ .

Теорiя

Гiперболи

Гiпербола є важливою рацiональною функцiєю, що демонструє зв’язок мiж двома лiнiйними функцiями. Формула гiперболи:

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} .

Гiпербола з вiдповiдними горизонтальною та вертикальною асимптотами, показаними пунктиром

Гiпербола має вертикальну i горизонтальну асимптоти (пунктирнi лiнiї).

Формула

Асимптоти гiперболи

Вертикальнi асимптоти

знаходимо, якщо знаменник дорiвнює нулю. Можна скористатися формулою:

x = - \frac{d}{c} .

Горизонтальна асимптота

— це значення, до якого прямує графiк, якщо $x \to \pm \infty$ . Можна скористатися формулою:

y = \frac{a}{c} .

Приклад 1

Функцiя гiперболи задається у виглядi

f (x) = \frac{2 x + 2}{x - 1} .

Знайди асимптоти i точку перетину мiж графiком i осями.

Загальна формула гiперболи:

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} .

У цьому завданнi $a = 2$ , $b = 2$ , $c = 1$ i $d = - 1$ . Знаходимо вертикальну асимптоту:

x = - \frac{d}{c} = - \frac{(- 1)}{1} = 1 .

Вертикальна асимптота $x = 1$ . Знаходимо горизонтальну асимптоту:

y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2 .

Горизонтальна асимптота $y = 2$ . Щоб знайти точку перетину з вiссю $y$ , пiдставляємо $x = 0$ , оскiльки координата $x$ дорiвнює 0 вздовж усiєї осi $y$ . Отримуємо

f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{- 1} = - 2 .

Гiпербола перетинає вiсь $y$ у точцi $(0, - 2)$ . Щоб знайти точку перетину з вiссю $x$ , пiдставляємо $f (x) = 0$ , оскiльки координата $y$ дорiвнює 0 вздовж усiєї осi $x$ . Отримуємо

f (x) = \frac{2 x + 2}{x - 1} = 0 .

Достатньо встановити чисельник рiвним нулю, оскiльки дрiб дорiвнює нулю, поки чисельник дорiвнює нулю. Тодi отримуємо

\begin{array}{l} 2 x + 2 & = 0 \\ 2 x & = - 2 | : 2 \\ x & = - 1 \end{array}

Гiпербола перетинає вiсь $x$ у точцi $(- 1, 0)$ .

Попередня стаття

Що таке логарифмічні функції?

Повернутися