>Тригонометричні формули>Що таке закон косинуса?

Що таке закон косинуса?

Трикутник iз законом косинуса

Закон косинуса — це загальна форма теореми Пiфагора, тому його можна використовувати для будь-якого трикутника. Це можна побачити з того, що якщо $A = 90 °$ , отримаємо $- 2 b c \cdot \cos A = 0$ , i в нас залишається теорема Пiфагора.

Формула

Закон косинуса

Якщо $b$ та $c$ — двi сторони, що утворюють кут $∠ A$ , то

\begin{align} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A & (1) \\ \cos A & = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} & (2) \end{align}

Правило

Застосування

Можна використовувати закон косинуса, щоб

Обчислити сторону трикутника, знаючи двi iншi сторони та кут трикутника. Формула (1).
Обчислити кут трикутника, якщо вiдомi всi три сторони трикутника. Формула (2).

Приклад 1

Дано чотирикутник $□ A B C D$ , де $A B = 12$ , $A D = 9$ та $∠ A = 120 °$ . Знайди дiагональ $B D$ .

Перше, що потрiбно зробити, це накреслити допомiжну фiгуру, яка допоможе вiзуалiзувати задачу.

Бачимо, що вiдповiдає закону косинуса в (1). Вставмо числа, щоб знайти

B D

\begin{array}{l} B D^{2} & = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos 120 ° \\ = 1 2^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos 120 ° \\ = 144 + 81 - 216 \cdot (- 0.5) \\ = 333 \\ B D & = \sqrt{333} \\ \approx 18.25 . \end{array}

Отже, $B D \approx 18.25$ .

Приклад 2

Дано трикутник $△ A B C$ , де $A B = 7$ , $A C = 5$ та $B C = 10$ . Обчисли $∠ A$ .

Перше, що потрiбно зробити, це накреслити допомiжну фiгуру, яка допоможе вiзуалiзувати задачу.

Бачимо, що це вiдповiдає закону косинуса в (2). Вставмо числа, щоб знайти

∠ A

\begin{array}{l} \cos A & = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} \\ = \frac{7^{2} + 5^{2} - 1 0^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 5} \\ = \frac{49 + 25 - 100}{70} \\ = \frac{- 26}{70} \\ A & = \cos^{- 1} (\frac{- 13}{35}) \\ \approx 111.8 ° . \end{array}

Отримаємо кут $∠ A \approx 111.8 °$ .

Попередня стаття

Що таке закон синуса?

Наступна стаття

Що таке тригонометричні тотожності?

Повернутися