...

>Вступ>Синус, косинус і тангенс та їхні обернені функції

Синус, косинус і тангенс та їхні обернені функції

Ця стаття застосовуються тiльки до прямокутних трикутникiв.

Синус, косинус та тангенс кута — це бiльше, нiж просто клавiшi на твоєму калькуляторi! Цi три функцiї описують вiдношення мiж двома сторонами прямокутного трикутника. Iснують три рiзнi функцiї, оскiльки є три можливi вiдношення. Пiд час вивчення формул корисно порiвнювати їх iз рисунком.

Катети та гiпотенуза, позначенi на прямокутному трикутнику

Вiдношення мiж сторонами прямокутного трикутника та кутами в трикутнику виглядає так:

Формула

Синус, косинус, тангенс i їхнi оберненi функцiї

\begin{array}{l} \sin B & = \frac{b}{c} B = \sin^{- 1} (\frac{b}{c}) \\ \cos B & = \frac{a}{c} B = \cos^{- 1} (\frac{a}{c}) \\ \tan B & = \frac{b}{a} B = \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) \end{array}

Правило

Два застосування

Обчислення кутiв прямокутного трикутника, якщо вiдомi двi сторони.
Обчислення сторiн прямокутного трикутника, якщо вiдома одна сторона та один кут.

Приклад 1

У прямокутного трикутника $△ A B C$ гiпотенуза дорiвнює $c = 10$ , а один катет дорiвнює $b = 8$ . Обчисли кут $∠ B$ , протилежний до кута $b$ .

Для допомоги корисно накреслити фiгуру.

Приклад використання синуса в прямокутному трикутнику

Пiсля цього обчислюємо

B = \sin^{- 1} (\frac{8}{10}) \approx 53.13 ° .

Приклад 2

Прямокутний трикутник $△ A B C$ має катет $b = 3$ i кут $B = 30 °$ . Обчисли довжину катета $a$ , що прилягає до кута $∠ B$ .

Приклад використання тангенса в прямокутному трикутнику

Знаючи кут

∠ B

та катет, протилежний до кута

∠ B

, природно обрати функцiю тангенса. Пiдставимо значення у формулу та отримаємо

\begin{array}{l} \tan 30 ° & = \frac{3}{a} & | \cdot a \\ a \cdot \tan 30 ° & = 3 & | : \tan 30 ° \\ a & = \frac{3}{\tan 30 °} \approx 5.2 \end{array}

Приклад 3

Знайди гiпотенузу $c$ прямокутного трикутника $△ A B C$ якщо вiдомо, що $a = 3$ та кут $∠ B = 60 °$ .

Приклад використання косинуса в прямокутному трикутнику

Оскiльки потрiбно знайти гiпотенузу, а катет прилягає до кута

∠ B

, краще пiдiйде функцiя косинуса. Пiдставимо значення у формулу та отримаємо:

\begin{array}{l} \cos 60 ° & = \frac{3}{c} & | \cdot c \\ c \cdot \cos 60 ° & = 3 & | : \cos 60 ° \\ c & = \frac{3}{\cos 60 °} \\ c & = 6 \end{array}

Попередня стаття

Яке визначення суміжних кутів?

Повернутися