>Середнє арифметичне та математичне сподівання>Що таке середнє арифметичне?

Що таке середнє арифметичне?

Щоб знайти середнє арифметичне для множини чисел, додай усi числа i подiли суму на кiлькiсть спостережень.

Правило

Середнє арифметичне

Щоб знайти середнє арифметичне для множини чисел, потрiбно додати всi числа з множини i подiлити отриману суму на кiлькiсть усiх спостережень.

Середнє арифметичне = \frac{o_{1} + o_{2} + \dots + o_{останнє}}{кiлькiсть спостережень},

де $o_{1}$ — це спостереження номер $1$ , $o_{2}$ — спостереження номер $2$ тощо.

Якщо застосувати бiльш теоретичний пiдхiд до з’ясування середнього арифметичного, отримаємо таку формулу:

Формула

Середнє арифметичне: негрупованi данi

Середнє арифметичне — це сума $n$ значень спостережень у наборi точок даних, подiлена на кiлькiсть $N$ значень у наборi точок даних. Середнє арифметичне записується у виглядi символа $\overset{}{x}$ .

\overset{}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{N}

Приклад 1

На запитання про те, скiльки хвилин вони провели у школi, вiсiм твоїх однокласникiв дали такi вiдповiдi:

10 17 6 20 5 10 5 19

Знайди середнє арифметичне.

Спершу додай усi числа:

\begin{array}{l} 10 + 17 + 6 + 20 \\ + & 5 + 10 + 5 + 19 = 92 \end{array}

10 + 17 + 6 + 20 + 5 + 10 + 5 + 19 = 92

Цю суму потрiбно подiлити на загальну кiлькiсть значень у множинi чисел:

92 : 8 = 11.5

Середнє арифметичне дорiвнює $11.5$ хвилин.

Помiркуй

Про що свiдчить те, що середнє арифметичне дорiвнює $11.5$ ? Яким буде дiапазон мiнливостi? Де саме помiж спостереженнями перебуває середнє арифметичне?

Тобто, якби час, який учнi проводять у школi, розподiлявся рiвномiрно, усi провели б там $11.5$ хвилин. Дiапазон становить $20 - 5 = 15$ хвилин. Вiдстань вiд середнього арифметичного до максимального значення становить $20 - 11.5 = 8.5$ . Вiдстань вiд середнього арифметичного до мiнiмального значення становить $11.5 - 5 = 6.5$ . Отже, як бачимо, середнє арифметичне перебуває в нижнiй частинi набору даних, оскiльки середнє арифметичне ближче до мiнiмального значення.

Помiркуй

Як, на твою думку, змiниться середнє арифметичне, якщо набiр даних мiстить екстремальнi значення?

Якщо набiр даних мiстить екстремальнi значення, середнє арифметичне пiдтягуватиметься в напрямку цих значень. Так ти отримаєш хибне уявлення про зiбрану iнформацiю. У таких випадках варто скористатися iншою центральною тенденцiєю — разом iз середнiм арифметичним або окремо — щоб отримати бiльш точну й достовiрну картину реальностi.

Приклад 2

Знайди середнiй вiк учасникiв секцiї з гiмнастики. У секцiї є 15 гiмнастiв такого вiку: 4, 5, 6, 3, 6, 12, 12, 14, 15, 13, 12, 12, 13, 14, 15.

Пiдстав числа у формулу i розв’яжи