>Методи>Як розв'язувати рівняння шляхом підстановки

Як розв'язувати рівняння шляхом підстановки

Iнодi вирази особливо складнi, тож для їх розв’язання можна скористатися розумним прийомом, який полягає у спрощеннi шляхом пiдстановки. Коли ми здiйснюємо пiдстановку, то замiнюємо вираз на змiнну. Найбiльш поширенi змiннi — $u$ , $v$ , $w$ та $z$ .

Теорiя

Пiдстановка

Пiдстановка означає замiну частини виразу на змiнну:

1.: Ми пiдставляємо змiнну, наприклад $u$ , замiсть складного множника у виразi, а тодi обчислюємо вираз разом зi змiнною.
2.: Пiсля завершення обчислення пiдставляємо початковий множник назад у результат, отриманий для змiнної $u$ , i розв’язуємо рiвняння.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $2^{2 x} - 2^{x + 1} + 1 = 0$

Це рiвняння має дещо дивний вигляд, але якщо скористатися правилами обчислення степенiв, усе стане зрозумiло.

\begin{array}{l} 2^{2 x} - 2^{x + 1} + 1 & = 0 \end{array}

Перетворюємо рiвняння, щоб виконати пiдстановку:

\begin{array}{l} {(2^{x})}^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 1 & = 0 \end{array}

Як бачимо, $2^{x} = u$ перетворюється на звичайне квадратне рiвняння:

\begin{array}{l} u^{2} - 2 \cdot u + 1 & = 0 \\ u^{2} - 2 u + 1 & = 0 \end{array}

Це квадратне рiвняння, яке можна розв’язати за допомогою квадратної формули або шляхом розкладання на множники. Отже, можемо знайти значення $u$ : $\begin{array}{l} u^{2} - 2 u + 1 & = 0 \\ (u - 1) (u - 1) & = 0 \\ {(u - 1)}^{2} & = 0 \\ u - 1 & = 0 \\ u & = 1 \end{array}$

Пiдставляємо значення $u$ в рiвняння $2^{x} = u$ i розв’язуємо для $x$ : $\begin{array}{l} 2^{x} & = 1 \\ \log 2^{x} & = \log 1 \\ x \cdot \log 2 & = 0 & (\log 1 = 0) \\ x & = \frac{0}{\log 2} = 0 \end{array}$

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$

Щоб розв’язати рiвняння цього типу, потрiбно задати $x^{4} = {(x^{2})}^{2}$ . Можна виконати пiдстановку i розв’язати рiвняння як звичайне квадратне рiвняння:

\begin{array}{l} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = 0 \\ {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 6 & = 0 \end{array}

Задаємо $x^{2} = u$ i виконуємо пiдстановку:

\begin{array}{l} u^{2} - 5 u + 6 & = 0 \end{array}

Розв’язуємо це рiвняння за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки:

\begin{array}{l} u & = \frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{5 \pm 1}{2} \end{array}

Тепер розбиваємо його на два рiвняння, одне з додатним коренем у чисельнику, а iнше з вiд’ємним коренем у чисельнику:

\begin{array}{l} u_{1} & = \frac{5 + 1}{2} & u_{2} & = \frac{5 - 1}{2} \\ = \frac{6}{2} & = \frac{4}{2} \\ = 3 & = 2 \end{array}

Нарештi, пiдставляємо цi значення назад у рiвняння з пiдстановкою $2^{x} = u$ , щоб знайти значення $x$ : $\begin{array}{l} x^{2} & = 3 & x^{2} & = 2 \\ x & = \pm \sqrt{3} & x & = \pm \sqrt{2} \end{array}$

Отримуємо вiдповiдь: $x_{1} = \sqrt{3}$ , $x_{2} = - \sqrt{3}$ , $x_{3} = \sqrt{2}$ i $x_{4} = - \sqrt{2}$ .

Попередня стаття

Що таке правило нульового добутку?

Наступна стаття

Як розв'язувати рівняння графічно

Повернутися