>Квадратні рівняння>Як розв'язувати квадратні рівняння

Як розв'язувати квадратні рівняння

Квадратнi рiвняння — це рiвняння, що мають форму

a x^{2} + b x + c = 0 .

Вираз $a x^{2} + b x + c$ називають квадратним виразом, оскiльки найвищий степiнь будь-якого з його членiв — це 2. Iснує чотири способи розв’язування квадратних рiвнянь:

1.: Квадратна формула
2.: Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $c = 0$
3.: Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $b = 0$
4.: Розв’язування квадратних рiвнянь шляхом перевiрки

Результатом застосування кожного з цих методiв завжди є корiнь функцiї.

Формула

Квадратна формула

Квадратну формулу можна використовувати з усiма квадратними виразами. Коренi знаходимо так:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Квадратнi вирази можуть не мати розв’язку, мати один розв’язок або два розв’язки.

$b^{2} - 4 a c < 0 \Rightarrow$ немає дiйсних розв’язкiв,
$b^{2} - 4 a c = 0 \Rightarrow$ один дiйсний розв’язок,
$b^{2} - 4 a c > 0 \Rightarrow$ два дiйсних розв’язки.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $x^{2} + 11 x = - 30$ .

Насамперед потрiбно перенести всi члени, що не дорiвнюють нулю, по один бiк вiд знака рiвностi, щоб по iнший бiк лишився тiльки

0

\begin{array}{l} x^{2} + 11 x & = - 30 \\ x^{2} + 11 x + 30 & = 0 \end{array}

Потiм використовуємо квадратну формулу, де $a = 1$ , $b = 11$ , а $c = 30$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm 1}{2} \end{array}$

Складаємо вирази як iз додатним, так i з вiд’ємним квадратним коренем:

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{- 11 + 1}{2} & x_{2} & = \frac{- 11 - 1}{2} \\ = \frac{- 10}{2} & = \frac{- 12}{2} \\ = - 5 & = - 6 \end{array}

Це означає, що розв’язками є $x_{1} = - 5$ i $x_{2} = - 6$ .

Правило

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $c = 0$

Якщо $c = 0$ , вираз має такий вигляд:

a x^{2} + b x = 0

1.: Розклади вираз на множники, винiсши x за дужки. Отримаємо добуток у виглядi $p \cdot q = 0$ .
2.: Це означає, що можна зробити таке: $p \cdot q = 0 \Leftrightarrow p = 0$ або $q = 0$ .

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $2 x^{2} + 4 x = 0$ .

Розклади вираз на множники, винiсши

2 x

за дужки:

2 x (x + 2) = 0 .

Пiсля цього склади вираз для кожного множника:

\begin{array}{l} 2 x & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 0 & x & = - 2 \end{array}

Отримаєш $x_{1} = 0$ i $x_{2} = - 2$ .

Правило

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $b = 0$

Якщо $b = 0$ , вираз має такий вигляд:

a x^{2} - c = 0

1.: Перенеси вiльний член $c$ в iншу частину рiвняння.
2.: Подiли на $a$ .
3.: Знайди квадратний корiнь iз обох частин.
4.: Отримаєш додатний та вiд’ємний розв’язок.

Приклад 3

\begin{array}{l} 3 x^{2} - 27 & = 0 \\ 3 x^{2} & = 27 | : 3 \\ x^{2} & = 9 \\ x & = \pm 3 \end{array}

Правило

Розв’язування квадратних рiвнянь шляхом перевiрки

Дано вираз $a x^{2} + b x + c = 0$ . Пiд час розв’язування шляхом перевiрки дотримуємося двох правил:

\begin{array}{l} c & = p \cdot q, \\ b & = p + q . \end{array}

$x_{1} = - p$ i $x_{2} = - q$ тут — це коренi функцiї, а отже, є розв’язками рiвняння.

Приклад 4

Розв’яжи рiвняння $x^{2} - x - 56 = 0$ .

Як бачиш,

b = - 1

, а

c = - 56

. Тобi потрiбно знайти значення

p

q

, що допоможуть розв’язати рiвняння. Iснує кiлька комбiнацiй множникiв, якi дають добуток

- 56

. Ось декiлька з них:

\begin{array}{l} - (2 \cdot 28) & = - 56, \\ - (4 \cdot 14) & = - 56, \\ - (7 \cdot 8) & = - 56, \end{array}

Оскiльки всi цi добутки дорiвнюють $- 56$ , то всi комбiнацiї є потенцiйними розв’язками. Для кожного з цих добуткiв потрiбно отримати вiд’ємну рiзницю мiж множниками, тому що нас цiкавить розв’язок $- 1$ — вiд’ємне число. А отже, задаємо рiзницi:

\begin{array}{l} 2 - 28 & = - 26 \neq - 1 \\ 4 - 14 & = - 10 \neq - 1 \\ 7 - 8 & = - 1, \end{array}

Це свiдчить, що $p = 7$ i $q = - 8$ вiдповiдають рiвнянню. Згiдно з формулою, це означає

x_{1} = - 7 i x_{2} = - (- 8) = 8,

тому що для знаходження розв’язку потрiбно змiнити знак.

Попередня стаття

Як розв’язувати квадратні рівняння без лінійного члена

Наступна стаття

Як розкласти квадратні вирази на множники

Повернутися

Квадратна формула

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких c = 0

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких b = 0

Розв’язування квадратних рiвнянь шляхом перевiрки

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $c = 0$

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $b = 0$