>Квадратні рівняння>Як розкласти квадратні вирази на множники

Як розкласти квадратні вирази на множники

Щоб розкласти на множники квадратний вираз $f (x)$ , потрiбно знайти його коренi. Для знаходження коренiв просто розв’язуємо рiвняння $f (x) = 0$ в один з наведених далi способiв:

1.: За допомогою квадратної формули;
2.: Шляхом видiлення квадрата;
3.: Шляхом перевiрки, тобто пошуку розв’язкiв, що вiдповiдають виразу, без виконання повного розрахунку.

Правило

Розкладання квадратних рiвнянь на множники

Знаходимо коренi виразу, $x_{1}$ i $x_{2}$ . Розкладаємо вираз на множники так:

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c \\ = \\ a (x - x_{1}) (x - x_{2}) . \end{matrix}

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Якщо рiвняння має лише один розв’язок

x_{1}

, то

x_{1} = x_{2}

. У цьому випадку розкладений на множники вираз матиме такий вигляд:

a {(x - x_{1})}^{2} .

Якщо рiвняння не має розв’язкiв, то вираз не можна розкласти на множники.

Приклад 1

Квадратна формула: два дiйсних розв’язки

Розклади на множники вираз $f (x) = x^{2} + 11 x + 30$ .

Застосовуємо квадратну формулу. Тут маємо

a = 1

b = 11

c = 30

, тож отримуємо

\begin{array}{l} x & = \frac{- 11 \pm \sqrt{1 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm 1}{2} . \end{array}

Це означає, що

x_{1} = - 5 x_{2} = - 6,

а отже, розкладений на множники вираз має вигляд

\begin{matrix} 1 \cdot (x - (- 5)) (x - (- 6)) \\ = \\ (x + 5) (x + 6) . \end{matrix}

1 \cdot (x - (- 5)) (x - (- 6)) = (x + 5) (x + 6) .

Приклад 2

Видiлення квадрата: два дiйсних розв’язки

Розклади на множники вираз $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ .

\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 8 \\ = x^{2} - 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + 8 \\ = \underset{2-га алгебраїчна тотожнiсть}{\underset{⏟}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}} - 3^{2} + 8 \\ = {(x - 3)}^{2} - 9 + 8 \\ = {(x - 3)}^{2} - 1 \\ = \underset{3-тя алгебраїчна тотожнiсть}{\underset{⏟}{{(x - 3)}^{2} - 1^{2}}} \\ = ((x - 3) - 1) ((x - 3) + 1) \\ = (x - 4) (x - 2) \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 8 & = x^{2} - 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + 8 \\ = \underset{Друга алгебраїчна тотожнiсть}{\underset{⏟}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}} - 3^{2} + 8 \\ = {(x - 3)}^{2} - 9 + 8 \\ = {(x - 3)}^{2} - 1 \\ = \underset{Третя алгебраїчна тотожнiсть}{\underset{⏟}{{(x - 3)}^{2} - 1^{2}}} \\ = ((x - 3) - 1) ((x - 3) + 1) \\ = (x - 4) (x - 2) \end{array}

Щоб розкласти вираз на множники шляхом видiлення квадрата, насамперед застосовуємо одну з алгебраїчних тотожностей, щоб видiлити квадрат, а потiм за допомогою третьої алгебраїчної тотожностi виконуємо розкладання на множники.

Приклад 3

Розпiзнавання повного квадрата: один дiйсний розв’язок

Розклади на множники вираз $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 1 & = \underset{2-га алгебраїчна тотожнiсть}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2}}} \\ = {(x - 1)}^{2} \end{array}

x^{2} - 2 x + 1 = \underset{Друга алгебраїчна тотожнiсть}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2}}} = {(x - 1)}^{2}

Якщо квадратне рiвняння має лише один дiйсний розв’язок, то квадратний вираз є повним квадратом. На це можна звернути увагу, коли берешся за нове квадратне рiвняння.

Приклад 4

Квадратне рiвняння: один дiйсний розв’язок

Розклади на множники вираз $f (x) = x^{2} + 8 x + 16$

Застосовуємо квадратну формулу. Маємо $(a = 1)$ , $(b = 8)$ i $(c = 16)$ , тож отримуємо

\begin{array}{l} x & = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} \\ = \frac{- 8 \pm 0}{2} \\ = - 4 . \end{array}

Через те, що ми маємо лише один розв’язок, розкладений на множники вираз набуває вигляду

1 \cdot {(x - (- 4))}^{2} = {(x + 4)}^{2} .

Приклад 5

Квадратна формула: немає дiйсних розв’язкiв

Розклади на множники вираз $f (x) = 4 x^{2} + 2 x + 1$

\begin{array}{l} x & = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} \\ = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2} \end{array}

Всерединi квадратного кореня в нас вiд’ємне число, а отже, рiвняння не має дiйсних розв’язкiв. Це означає, що розкласти вираз на множники неможливо.

Попередня стаття

Як розв'язувати квадратні рівняння

Повернутися