>Степені та квадратні корені>Що таке правила розрахунків зі степенями?

Що таке правила розрахунків зі степенями?

Нижче наведено правила розрахункiв зi степенями. Їх важливо вивчити. Тут ми ближче познайомимося з цими правилами i з’ясуємо, як їх застосовувати.

Правило

Правила розрахункiв зi степенями

\begin{array}{l} a^{n} \cdot a^{m} & = a^{n + m} & \frac{a^{n}}{a^{m}} & = a^{n - m} \\ {(a^{b})}^{c} & = a^{b \cdot c} & {(a \cdot b)}^{n} & = a^{n} \cdot b^{n} \\ {(\frac{a}{b})}^{n} & = \frac{a^{n}}{b^{n}} & \sqrt{a} & = a^{\frac{1}{2}} \\ a^{- n} & = \frac{1}{a^{n}} & a^{0} & = 1 \end{array}

Пам’ятай, що лiтерам $a$ i $b$ може вiдповiдати будь-яке число або лiтера. Цi правила дiйснi для розрахункiв як iз числами, так i з лiтерами.

Розгляньмо кiлька прикладiв застосування правил для розрахункiв зi степенями.

Правило 1

Насамперед я покажу, як застосовувати Правило $1$ .

Правило

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

Приклад 1

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} 3^{4} \cdot 3^{3} & = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) \\ = 3^{4 + 3} \\ = 3^{7} \end{array}

Отримуємо

3^{4} \cdot 3^{3} = 3^{4 + 3} = 3^{7}

Правило 2

Далi розгляньмо Правило $2$ .

Правило

{(a^{b})}^{c} = a^{b \cdot c}

Приклад 2

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} {(4^{2})}^{4} & = (4^{2}) \cdot (4^{2}) \cdot (4^{2}) \cdot (4^{2}) \\ = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \\ = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \\ = 4^{8} \end{array}

Це означає, що

{(4^{2})}^{4} = 4^{2 \cdot 4} = 4^{8}

Правило 3

Тепер ти навчишся застосовувати Правило $3$ .

Правило

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Приклад 3

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} {(\frac{2}{3})}^{3} & = (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \\ = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} \\ = \frac{2^{3}}{3^{3}} \\ = \frac{8}{27} \end{array}

Отримуємо

{(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}

Правило 4

Тепер навчимося застосовувати Правило $4$ .

Правило

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

Приклад 4

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} \frac{3^{4}}{3^{2}} & = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} \\ = 3^{2} \end{array}

Це означає, що

\frac{3^{4}}{3^{2}} = 3^{4 - 2} = 3^{2}

Правило 5

Тепер розгляньмо Правило $5$ .

Правило

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Приклад 5

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} 7^{- 2} & = 7^{0 - 2} \\ = \frac{7^{0}}{7^{2}} \\ = \frac{1}{7^{2}}, \end{array}

що вказує на те, що

7^{- 2} = \frac{1}{7^{2}}

Правило 6

Тепер ти навчишся застосовувати Правило $6$ .

Правило

{(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Приклад 6

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} {(5 \cdot 2)}^{4} & = (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \\ = (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ = 5^{4} \cdot 2^{4}, \end{array}

що вказує на те, що

{(5 \cdot 2)}^{4} = 5^{4} \cdot 2^{4}

Правило 7

Тепер розгляньмо Правило $7$ .

Правило

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}

Приклад 7

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним. Придивiмося до нього пильнiше. Ми знаємо, що ${\sqrt{3}}^{2} = 3$ . Взявши це за вiдправну точку, отримаємо

\begin{array}{l} {\sqrt{3}}^{2} & = 3 \\ {({\sqrt{3}}^{2})}^{\frac{1}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{2 \cdot \frac{1}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{\frac{2}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{1} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{3} & = 3^{\frac{1}{2}} \end{array}

Правило 8

Нарештi, я покажу, як застосовувати Правило $8$ .

Правило

a^{0} = 1

Приклад 8

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним. Тут ми застосуємо один прийом, а саме те, що $0 = 1 - 1$ . Цей прийом може здатися дещо дивним, але вiн працює.

\begin{array}{l} 6 5^{0} & = 6 5^{1 - 1} \\ = \frac{6 5^{1}}{6 5^{1}} \\ = \frac{65}{65} \\ = 1 \end{array}

Це вказує на те, що

6 5^{0} = 1

Об’єднанi приклади

Ось кiлька прикладiв, якi передбачають застосування кiлькох правил одночасно.

Приклад 9

\begin{array}{l} {(2 a)}^{3} \cdot {(a \cdot b)}^{2} & = 2^{3} \cdot a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \\ = 8 \cdot a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \\ = 8 \cdot a^{3 + 2} \cdot b^{2} \\ = 8 a^{5} b^{2} \end{array}

Приклад 10

\begin{array}{l} \frac{a^{4} \cdot {(a^{2} \cdot b)}^{5}}{{(a \cdot b)}^{3}} & = \frac{a^{4} \cdot {(a^{2})}^{5} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = \frac{a^{4} \cdot a^{10} \cdot b^{5}}{} a^{3} \cdot b^{3} \\ = \frac{a^{14} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = a^{14 - 3} \cdot b^{5 - 3} \\ = a^{11} \cdot b^{2} \end{array}

Попередня стаття

Що таке степені в математиці?

Наступна стаття

Що таке степені 10?

Повернутися