Як множити комплексні числа

Тут ти навчишся множити комплекснi числа, записанi як в алгебраїчнiй, так i тригонометричнiй формах.

Алгебраїчна форма

Комплекснi числа, записанi в алгебраїчнiй формi, треба перемножувати разом, почленно. Це виконується так само, як i множення дiйсних алгебраїчних виразiв з дужками. Множачи комплекснi числа, потрiбно пам’ятати, що уявна одиниця $i$ має значення $i^{2} = - 1$ .

Формула

Множення комплексних чисел, записаних в алгебраїчнiй формi

Нехай

z_{1} = a + b i

та

z_{2} = c + d i

— це комплекснi числа, тодi:

\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} & = (a + b i) (c + d i) \\ = a c + a d i + b c i + b d i^{2} \\ = (a c - b d) + (a d + b c) i . \end{array}

Добуток двох комплексних чисел — це нове комплексне число. Математично це формулюється як множина комплексних чисел $ℂ$ , замкнена щодо операцiї множення.

Приклад 1

Знайди $z_{1} \cdot z_{2}$ та $z_{2} \cdot z_{3}$ для комплексних чисел $z_{1} = 3 i$ , $z_{2} = 5 + 2 i$ й $z_{3} = 1 - i$

Знаходимо $z_{1} \cdot z_{2}$ , множачи $z_{1}$ на обидва члени в $z_{2}$ : $\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} & = 3 i \cdot (5 + 2 i) \\ = 3 i \cdot 5 + 3 i \cdot 2 i \\ = 15 i + 6 i^{2} \\ = - 6 + 15 i . \end{array}$

Щоб знайти $z_{2} \cdot z_{3}$ , перемножимо $z_{2}$ на обидва члени в $z_{3}$ :

\begin{array}{l} z_{2} \cdot z_{3} \\ = (5 + 2 i) \cdot (1 - i) \\ = 5 \cdot 1 + 5 \cdot (- i) \\ + 2 i \cdot 1 + 2 i \cdot (- i) \\ = 5 - 5 i + 2 i - 2 i^{2} \\ = (5 + 2) + (- 5 + 2) i \\ = 7 - 3 i . \end{array}

\begin{array}{l} z_{2} \cdot z_{3} & = (5 + 2 i) \cdot (1 - i) \\ = 5 \cdot 1 + 5 \cdot (- i) + 2 i \cdot 1 + 2 i \cdot (- i) \\ = 5 - 5 i + 2 i - 2 i^{2} \\ = (5 + 2) + (- 5 + 2) i \\ = 7 - 3 i . \end{array}

Тригонометрична форма

Якщо записати комплекснi числа, використовуючи показникову функцiю з комплексним показником, можна множити комплекснi числа, використовуючи правила пiднесення до степеня.

Формула

Множення комплексних чисел, записаних в тригонометричнiй формi

Нехай $z_{1} = r_{1} e^{i 𝜃_{1}}$ та $z_{2} = r_{2} e^{i 𝜃_{2}}$ — це комплекснi числа, тодi

\begin{array}{l} z_{1} \cdot z_{2} & = r_{1} e^{i 𝜃_{1}} \cdot r_{2} e^{i 𝜃_{2}} \\ = (r_{1} \cdot r_{2}) e^{i 𝜃_{1} + i 𝜃_{2}} \\ = r_{1} r_{2} e^{i (𝜃_{1} + 𝜃_{2})} . \end{array}

Щоб помножити комплекснi числа, записанi в тригонометричнiй формi, треба помножити норми та додати аргументи. Це можна зобразити на комплекснiй площинi:

Геометричне зображення множення комплексних чисел.

Множення комплексних чисел можна розглядати як обертання та масштабування на комплекснiй площинi. Наприклад, множення з уявною одиницею $i$ вiдповiдає обертанню на $90 °$ або $\frac{π}{2}$ радiани, оскiльки $i$ має норму $1$ та аргумент $\frac{π}{2}$ .

Приклад 2

Знайди $z_{3} = r_{3} e^{i 𝜃_{3}} = z_{1} \cdot z_{2}$ , якшо $z_{1} = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ та $z_{2} = 4 e^{i \frac{π}{6}}$

Щоб знайти норму $z_{3}$ , потрiбно перемножити норми $z_{1}$ i $z_{2}$ :

r_{3} = 2 \cdot 4 = 8 .

Щоб знайти аргумент $z_{3}$ , потрiбно додати аргументи $z_{1}$ i $z_{2}$ :

𝜃_{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} .

Тодi добуток $z_{3}$ становить:

z_{3} = 8 e^{i \frac{π}{2}} = 8 i .

Властивостi множення

Як i в разi дiйсних чисел для комплексних чисел також справджуються властивостi комутативностi, асоцiативностi та дистрибутивностi множення.

Правило

Комутативнiсть, асоцiативнiсть i дистрибутивнiсть

Для всiх комплексних чисел $z_{1}$ , $z_{2}$ та $z_{3}$ справджуються властивiсть комутативностi

z_{1} \cdot z_{2} = z_{2} \cdot z_{1},

асоцiативностi

(z_{1} \cdot z_{2}) \cdot z_{3} = z_{1} \cdot (z_{2} \cdot z_{3}),

i дистрибутивностi

z_{1} \cdot (z_{2} + z_{3}) = z_{1} \cdot z_{2} + z_{1} \cdot z_{3} .

Комутативнiсть та асоцiативнiсть означають, що можна довiльно змiнювати порядок чисел i дужок, якщо обчислення складається лише з множення. Дистрибутивнiсть означає, що можна множити комплекснi числа, що знаходяться в дужках, i розкладати на множники комплекснi числа, що знаходяться в дужках.

Попередня стаття

Додавання та віднімання комплексних чисел

Наступна стаття

Як можна спростити складні дроби

Повернутися