>Множини та системи>Що таке позиційна система числення?

Що таке позиційна система числення?

У десятковiй системi числення число складається з цифр у рiзних комбiнацiях. Структура чисел вiдповiдає певнiй системi. Ми називаємо цю систему позицiйною системою числення.

Позицiйна система числення побудована так, що значення кожного числа в нiй залежить вiд його позицiї (розряду). Можна використовувати скiльки завгодно розрядiв, наприклад розряд тисячних i розряд мiльйонних. Приклади десяткових розрядiв:

Розряд тисячних: розрядне значення $0.001$
Розряд сотих: розрядне значення $0.01$
Розряд десятих: розрядне значення $0.1$
Розряд одиниць: розрядне значення $1$
Розряд десяткiв: розрядне значення $10$
Розряд сотень: розрядне значення $100$
Розряд тисяч: розрядне значення $1000$
Розряд десяткiв тисяч: розрядне значення $10 000$

Число iз зазначенням розрядного значення кожної цифри.

Приклад 1

У числi $64$ цифра $6$ перебуває в розрядi десяткiв, а $4$ — в розрядi одиниць. Число можна розкласти на доданки на основi розрядних значень його цифр. Кожне розрядне значення трапляється ту саму кiлькiсть разiв, що й вiдповiдна цифра. Записуємо це так:

64 = 6 десяткiв i 4 одиницi

Отже, маємо:

$64$
$↙$ $↘$
$60 i 4$

Приклад 2

У числi $100$ цифра $1$ перебуває в розрядi сотень, $0$ — у розрядi десяткiв, а другий $0$ — у розрядi одиниць. Розкладаємо число на доданки на основi розрядних значень його цифр. Кожне розрядне значення трапляється ту саму кiлькiсть разiв, що й вiдповiдна цифра. Записуємо це так:

\begin{array}{l} 100 & = 1 сотня, 0 десяткiв \\ i 0 одиниць \end{array}

100 = 1 сотня, 0 десяткiв i 0 одиниць

Отже, маємо:

$100$
$↙$ $↓$ $↘$
$100 i 0 i 0$

Приклад 3

У числi $0.42$ цифра $0$ перебуває в розрядi одиниць, $4$ — в розрядi десятих, а $2$ — в розрядi сотих. Розкладаємо число на доданки на основi розрядних значень його цифр. Кожне розрядне значення трапляється ту саму кiлькiсть разiв, що й вiдповiдна цифра. Записуємо це так:

\begin{array}{l} 0.42 & = 0 одиниць + 4 десятих \\ + 2 сотих \end{array}

0.42 = 0 одиниць + 4 десятих + 2 сотих

Отже, маємо:

0.42 = 0 + 0.4 + 0.02

Структура позицiйної системи

Усi цифри лiворуч вiд розряду одиниць множаться на $10$ один i бiльше разiв.

Усi цифри праворуч вiд коми дiляться на $10$ один i бiльше разiв.

Якщо помножити число на $10$ , воно перейде в iнший розряд у позицiйнiй системi. Розряди в кожному напрямку можуть додаватися безкiнечно.

Корисно зрозумiти структуру позицiйної системи. З вiком ти зустрiчатимеш надвеликi та надмалi числа, якi перевершать будь-якi з бачених тобою ранiше чисел.

Приклад 4

Це число не має десяткового роздiлювача:

2341

Проте пiсля останньої цифри стоїть невидимий роздiлювач (кома). За вiдсутностi десяткового числа кому записувати не потрiбно. Остання цифра числа перебуває в розрядi одиниць.

Приклад 5

Ось число $62.7$

Воно складається з цифри $6$ у розрядi десяткiв, $2$ у розрядi одиниць i $7$ у розрядi десятих. Число $62.7$ можна записати у виглядi суми розрядних доданкiв, щоб продемонструвати логiку:

\begin{array}{l} 62.7 & = 60 + 2 + 0.7 \\ = 6 \times 10 + 2 \times 1 + 7 \times 0.1 \end{array}

Приклад 6

Ось число $5349.728$

Воно складається з цифри $5$ у розрядi тисяч, $3$ у розрядi сотень, $4$ у розрядi десяткiв, $9$ у розрядi одиниць, $7$ у розрядi десятих. $2$ перебуває в розрядi сотих, а $8$ — у розрядi тисячних. Число $5349.728$ можна записати у виглядi суми розрядних доданкiв, щоб продемонструвати логiку:

\begin{array}{l} 5349.728 & = 5000 + 300 + 40 + 9 \\ + 0.7 + 0.02 + 0.008 \\ = 5 \times 1000 + 3 \times 100 + 4 \times 10 \\ + 9 \times 1 + 7 \times 0.1 \\ + 2 \times 0.01 + 8 \times 0.001 \end{array}

\begin{array}{l} 5349.728 & = 5000 + 300 + 40 + 9 + 0.7 + 0.02 + 0.008 \\ = 5 \times 1000 + 3 \times 100 + 4 \times 10 + 9 \times 1 \\ + 7 \times 0.1 + 2 \times 0.01 + 8 \times 0.001 \end{array}

Математична колекцiя

Хочеш розв’язувати практичнi завдання на позицiйну систему числення? Тодi тобi стане в пригодi Математична колекцiя!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке парні та непарні числа?

Наступна стаття

Множини чисел

Повернутися