>Знайомство з векторами>Знаходження відстані між двома точками за допомогою векторів

Знаходження відстані між двома точками за допомогою векторів

Вектор iз точки (8, 12) в точку (16, 18)

Вiдстань мiж двома точками $P = (x_{1}, y_{1})$ i $Q = (x_{2}, y_{2})$ – це довжина вектора $\vec{P Q}$ . Вiдстань мiж двома точками (довжина вектора) визначається за формулою:

Формула

Вiдстань мiж двома точками

| \vec{P Q} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Приклад 1

Знайди вiдстань мiж точками $A = (8, 12)$ i $B = (16, 18)$ . $\begin{array}{l} | \vec{A B} | & = \sqrt{{(16 - 8)}^{2} + {(18 - 12)}^{2}} \\ = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} \\ = \sqrt{64 + 36} \\ = \sqrt{100} \\ = 10 \end{array}$

Приклад 2

Визнач $s$ так, щоб $| \vec{A B} | = 4$ , коли $A = (s, 1)$ i $B = (2, 5)$

Тут можемо пiдставити числа безпосередньо у формулу та знайти $s$ : $\begin{array}{l} | \vec{A B} | = \sqrt{{(2 - s)}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} & = 4 \\ \sqrt{{(2 - s)}^{2} + {(4)}^{2}} & = 4 \\ {(2 - s)}^{2} + 16 & = 16 \\ 4 - 4 s + s^{2} & = 0 \end{array}$

Розв’язуємо рiвняння $s^{2} - 4 s + 4 = 0$ :

s = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{4}{2} = 2 .

Оскiльки це iррацiональне рiвняння, нам потрiбно перевiрити нашу вiдповiдь:

По лiвий бiк маємо

\sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} = \sqrt{16} = 4,

а по правий бiк маємо 4. Лiвий i правий боки рiвнi, тож довжина $| \vec{A B} |$ буде рiвною 4 для $s = 2$ .

Попередня стаття

Що таке довжина вектора?

Повернутися