>Знайомство з векторами>Що таке довжина вектора?

Що таке довжина вектора?

Вектор a з компонентами x i y

Довжину вектора $\vec{a} = (x, y)$ позначають знаком модуля $| \vec{a} |$ i знаходять за формулою (зверни увагу на схожiсть iз теоремою Пiфагора):

Формула

Довжина вектора

| \vec{a} | = | (x, y) | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Приклад 1

Знайди довжину вектора $\vec{v} = (3, 4)$ .

$\begin{array}{l} | \vec{v} | & = | (3, 4) | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{array}$

$| \vec{v} | = | (3, 4) | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Приклад 2

Для яких значень $t$ вектор $(t, t^{2})$ має довжину $\sqrt{2}$ ?

У цьому випадку застосовуємо формулу як рiвняння i розв’язуємо для $t$ : $\begin{array}{l} \sqrt{2} & = \sqrt{{(t)}^{2} + {(t^{2})}^{2}} \\ = \sqrt{t^{2} (1 + t^{2})} \\ = t \sqrt{1 + t^{2}} . \end{array}$ Дiлимо кожен бiк рiвняння на $t$ i отримуємо

\begin{array}{l} \frac{\sqrt{2}}{t} & = \sqrt{1 + t^{2}} & Пiдносимо до квадрата \\ \frac{2}{t^{2}} & = 1 + t^{2} & | \cdot t^{2} \\ 2 & = t^{2} + t^{4} & Переносимо \\ 0 & = t^{4} + t^{2} - 2 & u = t^{2} \\ 0 & = u^{2} + u - 2 & Розкладаємо на множники \\ 0 & = (u + 2) (u - 1) . \end{array}

\begin{array}{l} \frac{\sqrt{2}}{t} & = \sqrt{1 + t^{2}} & Пiдносимо до квадрата \\ \frac{2}{t^{2}} & = 1 + t^{2} & | \cdot t^{2} \\ 2 & = t^{2} + t^{4} & Переносимо \\ 0 & = t^{4} + t^{2} - 2 & Пiдставляємо u = t^{2} \\ 0 & = u^{2} + u - 2 & Розкладаємо на множники \\ 0 & = (u + 2) (u - 1) . \end{array}

Тепер можна повернути замiнену величину. З першого множника отримуємо:

\begin{align} u + 2 & = 0 & (1) \\ t^{2} + 2 & = 0 \\ t^{2} & = - 2 \end{align}

З другого множника отримуємо:

\begin{align} u - 1 & = 0 & (2) \\ t^{2} - 1 & = 0 \\ t^{2} & = 1 \\ t & = \pm 1 . \end{align}

Оскiльки $t^{2} = - 2$ у (1) не має розв’язку, $t = \pm 1$ у (2).

Попередня стаття

Як знайти вектор між двома точками

Наступна стаття

Знаходження відстані між двома точками за допомогою векторів

Повернутися