>Відстані>Як знайти відстань між двома прямими

Як знайти відстань між двома прямими

Двi прямi, що не перетинаються, у тривимiрнiй системi координат

За умови, що двi прямi не перетинаються, на кожнiй прямiй є одна точка, в якiй прямi розташованi найближче одна до одної. Щоб знайти вiдстань мiж двома прямими в цiй точцi, використовуємо напрямнi вектори обох прямих, щоб знайти iнший вектор, перпендикулярний до обох прямих. Якщо дано пряму $l$ уздовж вектора ${\vec{r}}_{l}$ i пряму $k$ уздовж вектора ${\vec{r}}_{k}$ , то найкоротшу вiдстань мiж прямими знаходимо так:

Правило

Вiдстань мiж двома прямими

1.

Нехай

P

— це довiльна точка на прямiй

l

, а

Q

— довiльна точка на прямiй

k

. Виражаємо цi точки за допомогою параметричних рiвнянь прямих.

2.

Складаємо вираз для вектора

\vec{P Q}

3.

У точцi, в якiй двi прямi розташованi найближче одна до одної, вектор

\vec{P Q}

перпендикулярний до обох прямих. А отже, нам потрiбно

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{l} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{l} = 0

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{k} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{k} = 0 .

4.

Тепер маємо два рiвняння з двома невiдомими та систему рiвнянь, яку потрiбно розв’язати.

5.

Щойно знайдемо значення для

s

i для

t

, зможемо пiдставити їх у вираз для

\vec{P Q}

, щоб з’ясувати, який вигляд має цей вектор у точцi, в якiй двi прямi розташованi найближче одна до одної.

6.

Нарештi, можемо знайти

| \vec{P Q} |

, тобто вiдстань мiж прямими.

Приклад 1

Знайди вiдстань мiж прямими

$\begin{array}{l} l : x (t) & = 1 + t, \\ y (t) & = 2 t, \\ z (t) & = 1 + 3 t \end{array}$

$\begin{array}{l} l : x (t) = 1 + t, y (t) = 2 t, z (t) = 1 + 3 t \end{array}$
i

$\begin{array}{l} k : x (t) & = 2 + s, \\ y (t) & = - 1 + s, \\ z (t) & = 1 + s \end{array}$

$\begin{array}{l} k : x (s) = 2 + s, y (s) = - 1 + s, z (s) = 1 + s \end{array}$

1.

Насамперед створюємо точку

P

за допомогою параметричного рiвняння прямої

l

i точку

Q

за допомогою параметричного рiвняння прямої

k

P = (1 + t, 2 t, 1 + 3 t)

Q = (2 + s, - 1 + s, 1 + s) .

2.

Створюємо

\vec{P Q}

\begin{array}{l} \vec{P Q} & = (2 + s - (1 + t), - 1 + s - (2 t), \\ 1 + s - (1 + 3 t)) \\ = (1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t) . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{P Q} & = (2 + s - (1 + t), - 1 + s - (2 t), 1 + s - (1 + 3 t)) \\ = (1 + s - t, - 1 + s - 2 t, s - 3 t) . \end{array}

3.

Знаходимо

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{l} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{l} = 0

\vec{P Q} ⊥ {\vec{r}}_{k} \Leftrightarrow \vec{P Q} \cdot {\vec{r}}_{k} = 0 .

Вектор $r_{l}$ складається з чисел, що йдуть перед $t$ у параметричному рiвняннi прямої $l$ , а вектор $r_{k}$ — з чисел, що йдуть перед $s$ у параметричному рiвняннi прямої $k$ . Отримуємо: