Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
УвійтиЗареєструватися
Меню

Як знайти відстань між двома прямими

Двi прямi, що не перетинаються, у тривимiрнiй системi координат

За умови, що двi прямi не перетинаються, на кожнiй прямiй є одна точка, в якiй прямi розташованi найближче одна до одної. Щоб знайти вiдстань мiж двома прямими в цiй точцi, використовуємо напрямнi вектори обох прямих, щоб знайти iнший вектор, перпендикулярний до обох прямих. Якщо дано пряму l уздовж вектора r→l i пряму k уздовж вектора r→k, то найкоротшу вiдстань мiж прямими знаходимо так:

Правило

Вiдстань мiж двома прямими

1.
Нехай P — це довiльна точка на прямiй l, а Q — довiльна точка на прямiй k. Виражаємо цi точки за допомогою параметричних рiвнянь прямих.
2.
Складаємо вираз для вектора PQ→.
3.
У точцi, в якiй двi прямi розташованi найближче одна до одної, вектор PQ→ перпендикулярний до обох прямих. А отже, нам потрiбно
PQ→ ⊥r→l ⇔PQ→ ⋅r→l = 0

i

PQ→ ⊥r→k ⇔PQ→ ⋅r→k = 0.
4.
Тепер маємо два рiвняння з двома невiдомими та систему рiвнянь, яку потрiбно розв’язати.
5.
Щойно знайдемо значення для s i для t, зможемо пiдставити їх у вираз для PQ→, щоб з’ясувати, який вигляд має цей вектор у точцi, в якiй двi прямi розташованi найближче одна до одної.
6.
Нарештi, можемо знайти |PQ→|, тобто вiдстань мiж прямими.

Приклад 1

Знайди вiдстань мiж прямими

l: x (t) = 1 + t, y (t) = 2t, z (t) = 1 + 3t

l: x (t) = 1 + t,y (t) = 2t,z (t) = 1 + 3t

i

k: x (t) = 2 + s, y (t) = −1 + s, z (t) = 1 + s

k: x (s) = 2 + s,y (s) = −1 + s,z (s) = 1 + s

1.
Насамперед створюємо точку P за допомогою параметричного рiвняння прямої l i точку Q за допомогою параметричного рiвняння прямої k:
P = (1 + t, 2t, 1 + 3t)

i

Q = (2 + s,−1 + s, 1 + s).
2.
Створюємо PQ→:
PQ→ = (2 + s −(1 + t),−1 + s −(2t), 1 + s −(1 + 3t)) = (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t).

PQ→ = (2 + s −(1 + t),−1 + s −(2t), 1 + s −(1 + 3t)) = (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t).

3.
Знаходимо
PQ→ ⊥r→l ⇔PQ→ ⋅r→l = 0

i

PQ→ ⊥r→k ⇔PQ→ ⋅r→k = 0.

Вектор rl складається з чисел, що йдуть перед t у параметричному рiвняннi прямої l, а вектор rk — з чисел, що йдуть перед s у параметричному рiвняннi прямої k. Отримуємо:

(1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 2, 3) = 0 1 + s − t − 2 + 2s − 4t + 3s − 9t = 0 − 1 + 6s − 14t = 0 (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 1, 1) = 0 1 + s − t − 1 + s − 2t + s − 3t = 0 3s − 6t = 0

(1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 2, 3) = 0 1 + s − t − 2 + 2s − 4t + 3s − 9t = 0 − 1 + 6s − 14t = 0 (1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t) ⋅(1, 1, 1) = 0 1 + s − t − 1 + s − 2t + s − 3t = 0 3s − 6t = 0

4.
Розв’язуємо систему рiвнянь:
3s − 6t = 0 3s = 6t s = 2t − 1 + 6s − 14t = 0 ⇓ − 1 + 6 ⋅ 2t − 14t = 0 − 1 − 2t = 0 t = −1 2 s = 2t ⇓ s = −1

− 1 + 6s − 14t = 0 3s − 6t = 0 3s = 6t s = 2t − 1 + 6 ⋅ 2t − 14t = 0 − 1 − 2t = 0 t = −1 2 s = 2 ⋅(− 1 2 ) s = −1

5.
Пiдставляємо значення, якi знайшли для s i t, у вираз для знаходження PQ→ :
PQ→ = (1 + (−1) −(− 1 2 ) , − 1 + (−1) − 2 ⋅(− 1 2 ) , (−1) − 3 ⋅(− 1 2 ) ) = (1 2,−1, 1 2) .

PQ→ = (1 + (−1) −(− 1 2 ) ,−1 + (−1) − 2 ⋅(− 1 2 ) , (−1) − 3 ⋅(− 1 2 )) = (1 2,−1, 1 2) .

6.
Нарештi, знаходимо довжину PQ→, яка є вiдстанню мiж двома прямими: |PQ→| = (1 2) 2 + 12 + (1 2) 2 = 1 4 + 1 + 1 4 = 3 2

Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як знайти відстань від точки до прямої
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як знайти відстань між точкою та площиною
Повернутися