>Способи застосування похідних>Що таке точки перегину функції?

Що таке точки перегину функції?

Точка перегину — це точка, в якiй графiк змiнюється з угнутого на опуклий i навпаки. Це також точка, в якiй графiк зростає або спадає найшвидше. Щоб знайти точку перегину, розв’язуємо рiвняння $f^{″} (x) = 0$ .

Правило

Точки перегину

Щоб знайти точки перегину функцiї, потрiбно розв’язати рiвняння

f^{″} (x) = 0

i скористатися дiаграмою знакiв.

На дiаграмi знакiв другої похiдної $f^{″} (x)$ бачимо, в яких точках графiк основної функцiї $f (x)$ є угнутим i опуклим. На нiй також видно точки перегину графiка. Крiм того, з дiаграми знакiв ми дiзнаємося, в якiй точцi $f^{″} (x)$ знаходиться вище i нижче осi $x$ .

Приклад 1

Знайди точку перегину функцiї
$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 3$

Як вiдомо, для знаходження точки перегину потрiбно знати другу похiдну $f^{″} (x)$ , тож продиференцiюємо функцiю $f (x)$ двiчi:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 9 x^{2} + 4 x - 4 \\ f^{″} (x) & = 18 x + 4 \end{array}

Тодi розв’язуємо рiвняння $f^{″} (x) = 0$ : $\begin{array}{l} 18 x + 4 & = 0 \\ 18 x & = - 4 | : 18 \\ x & = - \frac{4}{18} \\ x & = - \frac{2}{9} \end{array}$

Потiм знаходимо значення $y$ точки перегину, пiдставивши $x = - \frac{2}{9}$ у основну функцiю $f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 3$ . Отримуємо

\begin{array}{l} f (- \frac{2}{9}) & = 3 {(- \frac{2}{9})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{9})}^{2} - 4 (- \frac{2}{9}) + 3 \\ \approx 4 . \end{array}

Отже, точка перегину $f (x)$ — це точка $(- \frac{2}{9}, 4)$ .

Попередня стаття

Як обчислити кривину функції

Наступна стаття

Як аналізувати поліноміальні функції

Повернутися