>Способи застосування похідних>Як аналізувати поліноміальні функції

Як аналізувати поліноміальні функції

Ось приклад аналiзу полiномiальної функцiї. Метод такий:

Правило

Аналiз полiномiальних функцiй

1.: Знайди нулi функцiї.
2.: Знайди стацiонарнi точки.
3.: Знайди точки перегину.

Приклад 1

Проаналiзуй функцiю $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$

1.

Знайди нулi, задавши

f (x) = 0

: оскiльки це полiномiальна функцiя 3-го степеня, не можна використовувати квадратичну функцiю для її безпосереднього розв’язання. Втiм, через те, що

f (x)

не має вiльного члена, можна розкласти на множники

x

решту функцiї:

\begin{array}{l} f (x) & = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x \\ = x (x^{2} + 6 x + 8) . \end{array}

\begin{array}{l} f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x = x (x^{2} + 6 x + 8) . \end{array}

Це означає, що точка

x = 0

є нулем. Потiм можна застосувати квадратичну формулу до

x^{2} + 6 x + 8

, щоб знайти iншi нулi:

\begin{array}{l} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{(6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2} \\ = \frac{- 6 \pm 2}{2} \end{array}

Отже, $x = - 4$ or $x = - 2$ . Тобто, нулями $f (x)$ є точки $x = - 4$ , $x = - 2$ i $x = 0$ .

2.

Знайди максимуми та мiнiмуми, задавши

f^{'} (x) = 0

. Знайди похiдну вiд

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x + 8

Тодi застосуй квадратичну формулу, щоб знайти максимуми й мiнiмуми $f (x)$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 12 \pm \sqrt{(1 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} \\ = \frac{- 12 \pm \sqrt{112}}{2} \\ \approx \frac{- 6 \pm 10.58}{2} \end{array}$

Отже, $x \approx - 3.15$ або $x \approx - 0.85$ . Щоб знайти точки, потрiбно знайти вiдповiднi значення $y$ . Знаходимо їх, пiдставивши свої значення $x$ назад у основну функцiю $f (x)$ : $\begin{array}{l} y & = f (- 3.15) \approx 3.08 \\ y & = f (- 0.85) \approx - 3.08 \end{array}$

Тепер потрiбно визначити, яка точка є максимумом, а яка мiнiмумом. Для цього будуємо дiаграму знакiв. Зверни увагу, що похiдну можна розкласти на множники:

f^{'} (x) = (x + 3.15) (x + 0.85) .

Дiаграма знакiв полiномiальної функцiї

Звiдси видно, що максимум знаходиться в iнтервалi $(- 3.15, 3.08)$ , а мiнiмум — в iнтервалi $(- 0.85, - 3.08)$ .

3.

Знайди точки перегину, задавши

f^{″} (x) = 0

. Спочатку знаходимо другу похiдну вiд

f (x)

, продиференцiювавши

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x + 8

f^{″} (x) = 6 x + 12 .

Припускаємо, що $f^{″} (x) = 0$ , i розв’язуємо рiвняння:

\begin{array}{l} 6 x + 12 & = 0 \\ 6 x & = - 12 \\ x & = - 2 \end{array}

Пiдставляємо це значення $x$ у початкову функцiю $f (x)$ , щоб знайти координату $y$ точки перегину:

\begin{array}{l} f (- 2) & = {(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) \\ = - 8 + 24 - 16 \\ = 0 . \end{array}

Отже, точка перегину — $(- 2, 0)$ . Створивши дiаграму знакiв для другої похiдної, можна побачити, в якiй точцi графiк $f (x)$ є угнутим, а в якiй — опуклим. Зверни увагу, що $f^{″} (x)$ можна розкласти на множники так: $f^{″} (x) = 6 (x + 2)$

Дiаграма знакiв f”(x) = 6x+12.

Попередня стаття

Що таке точки перегину функції?

Наступна стаття

Як аналізувати логарифмічні функції

Повернутися