>Способи застосування похідних>Як аналізувати логарифмічні функції

Як аналізувати логарифмічні функції

Ось приклад аналiзу логарифмiчної функцiї. Метод такий:

Правило

Аналiз логарифмiчних функцiй

1.: Знайди область визначення.
2.: Знайди нулi функцiї.
3.: Знайди стацiонарнi точки.
4.: Знайди точки перегину.

Приклад 1

Проаналiзуй функцiю $f (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$

1.

Спочатку знайди область визначення

D_{f}

. Для цього потрiбно знайти область, у якiй аргумент логарифмiчної функцiї бiльший за 0. Задаємо вираз рiвним 0, щоб знайти нулi, а потiм застосовуємо дiаграму знакiв, щоб знайти iнтервали:

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 2 & = 0 \\ 2 (x^{2} - 1) & = 0 \\ 2 (x - 1) (x + 1) & = 0 \end{array}

Дiаграма знакiв має такий вигляд:

Дiаграма знакiв f’(x) = 2x̂2-2.

Область, у якiй аргумент $> 0$ — $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ , отже, це область визначення $D_{f}$ .

2.

Знайди нулi, задавши

f (x) = 0

\begin{array}{l} \ln (2 x^{2} - 2) & = 0 \\ e^{\ln (2 x^{2} - 2)} & = e^{0} \\ 2 x^{2} - 2 & = 1 \\ 2 x^{2} & = 3 | : 2 \\ x^{2} & = \frac{3}{2} \\ \sqrt{x^{2}} & = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}

Отже, нулi — $(- \sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ i $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ .

3.

Знайди максимуми та мiнiмуми, вставивши

f^{'} (x) = 0

. Спочатку диференцiюємо функцiю:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x) \\ = \frac{4 x}{2 x^{2} - 2} \\ = \frac{4 x}{2 (x^{2} - 1)} \\ = \frac{2 x}{x^{2} - 1} \end{array}

Задаємо рiвняння рiвним 0:

\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} - 1} & = 0 \\ \Rightarrow 2 x & = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0 \Rightarrow 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}

x = 0

виходить за межi областi визначення, тому ця функцiя не має максимумiв чи мiнiмумiв.

4.

Знайди точку перегину, задавши

f^{″} (x) = 0

. Спочатку знаходимо другу похiдну, продиференцiювавши

f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}

\begin{array}{l} f^{″} (x) & = \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 x \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \\ = \frac{2 x^{2} - 2 - 4 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{- 2 (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} \end{array}

Задаємо цей вираз рiвним 0:

\frac{- 2 (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0

Тут потрiбно прирiвняти чисельник до 0:

\begin{array}{l} - 2 (x^{2} + 1) & = 0 \\ - 2 x^{2} - 2 & = 0 \\ - 2 x^{2} & = 2 | : - 2 \\ x^{2} & = - 1 \end{array}

Це рiвняння не має реальних розв’язкiв, а отже, функцiя не має точок перегину. Те саме було б, якби розв’язок виходив за межi областi визначення. Причина така: щоб iснувала точка перегину, функцiя має переходити з опуклої в угнуту або з угнутої в опуклу, чого не вiдбувається з логарифмiчними функцiями.

Попередня стаття

Як аналізувати поліноміальні функції

Наступна стаття

Як аналізувати степеневі функції

Повернутися