>Диференціювання>Правила диференціювання для знаходження похідних

Правила диференціювання для знаходження похідних

Гарна новина полягає в тому, що не потрiбно диференцiювати всi вирази за визначенням похiдної. Ось усi правила, якi допоможуть диференцiювати основнi функцiї.

Уважно переглянь приклади i переконайся, що розумiєш, що вiдбувається.

Правило

Правила диференцiювання

\begin{array}{l} f (x) & = k & \Leftrightarrow & f^{'} (x) & = 0 \\ f (x) & = a x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a \\ f (x) & = x^{n} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = n x^{n - 1} \\ f (x) & = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (x) & = e^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = e^{x} \\ f (x) & = e^{k x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k e^{k x} \\ f (x) & = a^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a^{x} \ln a \\ f (x) & = \ln x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \ln (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \sin x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \cos x \\ f (x) & = \cos x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - \sin x \\ f (x) & = \sin (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k \cos (k x) \\ f (x) & = \cos (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - k \sin (k x) \\ f (x) & = \tan x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \tan^{2} x \\ f (x) & = \tan (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{k}{\cos^{2} (k x)} \\ = k + k \tan^{2} (k x) \end{array}

\begin{array}{l} f (x) & = k & \Leftrightarrow & f^{'} (x) & = 0 \\ f (x) & = a x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a \\ f (x) & = x^{n} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = n x^{n - 1} \\ f (x) & = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (x) & = e^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = e^{x} \\ f (x) & = e^{k x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k e^{k x} \\ f (x) & = a^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a^{x} \ln a \\ f (x) & = \ln x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \ln (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \sin x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \cos x \\ f (x) & = \cos x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - \sin x \\ f (x) & = \sin (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k \cos (k x) \\ f (x) & = \cos (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - k \sin (k x) \\ f (x) & = \tan x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{\cos^{2} x} = \tan^{2} x \\ f (x) & = \tan (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{k}{\cos^{2} (k x)} = k + k \tan^{2} (k x) \end{array}

Для функцiй

f (x)

g (x)

i коефiцiєнтiв

k

застосовується таке:

\begin{array}{l} {(f (x) \pm g (x))}^{'} & = f^{'} (x) \pm g^{'} (x) \\ {(k f (x))}^{'} & = k f^{'} (x) \end{array}

На додаток до цих правил прочитай статтi про ланцюгове правило, правило добутку i правило частки.

Нижче наведено кiлька прикладiв практичного застосування цих правил.

Приклад 1

f (x) = 6 \Rightarrow f^{'} (x) = 0

Приклад 2

f (x) = 12 x \Rightarrow f^{'} (x) = 12

Приклад 3

f (x) = x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2}

Приклад 4

f (x) = 7 x^{5} \Rightarrow f^{'} (x) = 35 x^{4}

Приклад 5

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{9} \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x^{2} - 54 x^{8}

Приклад 6

f (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1} \Rightarrow f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

Приклад 7

f (x) = e^{4 x} \Rightarrow f^{'} (x) = 4 e^{4 x}

Приклад 8

f (x) = 3^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 3^{x} \ln 3

Приклад 9

f (x) = \ln 4 x \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}

Приклад 10

Джекс Теллер iз «Синiв анархiї» їде прямою сiльською дорогою в Iталiї. Кiлькiсть $s$ кiлометрiв, якi Джекс пройшов за $t$ годин, задано функкцiєю $s (t) = 50 t^{2}$ . Що можна сказати про його швидкiсть?

Щоб знайти швидкiсть Джекса через $t$ годин, диференцiюємо функцiю $s (t)$ :

s^{'} (t) = 50 \cdot 2 t = 100 t

Згiдно з моделлю, швидкiсть Джекса щогодини збiльшується на $100$ км/год.

Через 30 хвилин ( $0.5$ години) його швидкiсть становитиме

S^{'} (0.5) = (100 \cdot 0.5) км/год = 50 км/год .

Через 1 годину його швидкiсть становитиме

S^{'} (1) = (100 \cdot 1) км/год = 100 км/год .

Через $2.5$ години його швидкiсть становитиме

S^{'} (2.5) = (100 \cdot 2.5) км/год = 250 км/год .

Якщо довго їхати прямо, можна втратити вiдчуття швидкостi, а це означає, що ти не помiтиш, що їдеш занадто швидко!

Попередня стаття

Як визначити, чи є функція диференційовною?

Наступна стаття

Як працює ланцюгове правило диференціювання?

Повернутися