>Диференціювання>Як знайти похідні за допомогою правила добутку

Як знайти похідні за допомогою правила добутку

Правило добутку — це правило, яке використовується, коли в нас є добуток двох i бiльше функцiй.

Нехай $u (x)$ i $v (x)$ — це двi функцiї $x$ . Правило добутку пояснює, як диференцiювати добуток цих двох функцiй. Добуток є новою функцiєю $u (x) \cdot v (x)$ . Щоб спростити її, просто запиши $u$ i $v$ для функцiй $u (x)$ i $v (x)$ , але важливо пам’ятати, що це функцiї $x$ .

Формула

Правило добутку

{(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'},

де $u = u (x)$ , а $v = v (x)$ .

Приклад 1

Продиференцiюй вираз $x^{2} \sqrt{2 x}$

Поглянувши на вираз, вирiшуємо, що $u = x^{2}$ , а $v = \sqrt{2 x}$ . Отримуємо $u^{'} = 2 x$ i $v^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ ; диференцiювання виконується так:

\begin{array}{l} {(x^{2} \sqrt{2 x})}^{'} & = {(x^{2})}^{'} \cdot \sqrt{2 x} + x^{2} \cdot {(\sqrt{2 x})}^{'} \\ = 2 x \cdot \sqrt{2 x} + x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x}} \\ = 2 x \sqrt{2 x} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{2 x \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{4 x^{2}}{\sqrt{2 x}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{2 x}} . \end{array}

Приклад 2

Продиференцiюй вираз $e^{x} (2 x^{3} + 3 x)$

Тут вирiшуємо, що $u = e^{x}$ , а $v = 2 x^{3} + 3 x$ . Отримуємо $u^{'} = e^{x}$ i $v^{'} = 6 x^{2} + 3$ ; диференцiювання виконується так:

\begin{array}{l} {[e^{x} (2 x^{3} + 3 x)]}^{'} & = {(e^{x})}^{'} \cdot (2 x^{3} + 3 x) \\ + e^{x} \cdot {(2 x^{3} + 3 x)}^{'} \\ = e^{x} \cdot (2 x^{3} + 3 x) \\ + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 3) \\ = 2 x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} \\ = e^{x} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 3) . \end{array}

\begin{array}{l} {[e^{x} (2 x^{3} + 3 x)]}^{'} & = {(e^{x})}^{'} \cdot (2 x^{3} + 3 x) + e^{x} \cdot {(2 x^{3} + 3 x)}^{'} \\ = e^{x} \cdot (2 x^{3} + 3 x) + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 3) \\ = 2 x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} \\ = e^{x} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 3) . \end{array}

Приклад 3

Продиференцiюй вираз $(x^{2} + x - 1) \ln x$

Тут вирiшуємо, що $u = x^{2} + x - 1$ , а $v = \ln x$ . Отримуємо $u^{'} = 2 x + 1$ i $v^{'} = \frac{1}{x}$ ; диференцiювання виконується так:

\begin{array}{l} {[(x^{2} + x - 1) \ln x]}^{'} & = {(x^{2} + x - 1)}^{'} \cdot \ln x \\ + (x^{2} + x - 1) \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = (2 x + 1) \cdot \ln x \\ + (x^{2} + x - 1) \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 x \ln x + \ln x + x + 1 - \frac{1}{x} . \end{array}

\begin{array}{l} {[(x^{2} + x - 1) \ln x]}^{'} & = {(x^{2} + x - 1)}^{'} \cdot \ln x + (x^{2} + x - 1) \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = (2 x + 1) \cdot \ln x + (x^{2} + x - 1) \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 x \ln x + \ln x + x + 1 - \frac{1}{x} . \end{array}

Попередня стаття

Як працює ланцюгове правило диференціювання?

Наступна стаття

Як диференціювати функції за допомогою правила частки

Повернутися