...

>Диференціювання>Як диференціювати функції за допомогою правила частки

Як диференціювати функції за допомогою правила частки

Правило частки — це правило, що допомагає отримати похiдну функцiї, яка є вiдношенням двох диференцiйовних функцiй.

Формула

Правило частки

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}},

де $u = u (x)$ , а $v = v (x)$ . Зверни увагу! Iнодi щастить, i вiдповiдь можна спростити. Втiм, у бiльшостi випадкiв це неможливо, i дрiб можна залишити як є.

Приклад 1

Продиференцiюй вираз $\frac{2 x + 1}{e^{x}}$

Тут $u = 2 x + 1$ , а $v = e^{x}$ . Отримуємо $u^{'} = 2$ i $v^{'} = e^{x}$ , що дає

\begin{array}{l} {(\frac{2 x + 1}{e^{x}})}^{'} & = \frac{{(2 x + 1)}^{'} \cdot e^{x} - (2 x + 1) \cdot {(e^{x})}^{'}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{2 \cdot e^{x} - (2 x + 1) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{2 e^{x} - 2 x e^{x} - e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{e^{x} (1 - 2 x)}{{(e^{x})}^{2}} \\ = \frac{1 - 2 x}{e^{x}} . \end{array}

Приклад 2

Продиференцiюй вираз $\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} + 7}{x - 1}$

Тут $u = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 7$ , а $v = x - 1$ . Це означає, що $u^{'} = 9 x^{2} - 2$ , а $v^{'} = 1$ ; похiдну знаходимо так:

\begin{array}{l} {(\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} + 7}{x - 1})}^{'} \\ = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(3 x^{3} - 2 x^{2} + 7)}^{'} \cdot (x - 1) \\ - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) {(x - 1)}^{'}) \\ = \frac{(9 x^{2} - 4 x) \cdot (x - 1) - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{9 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{6 x^{3} - 11 x^{2} + 4 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} . \end{array}

\begin{array}{l} {(\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} + 7}{x - 1})}^{'} & = \frac{{(3 x^{3} - 2 x^{2} + 7)}^{'} \cdot (x - 1) - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) {(x - 1)}^{'}}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{(9 x^{2} - 4 x) \cdot (x - 1) - (3 x^{3} - 2 x^{2} + 7) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{9 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{6 x^{3} - 11 x^{2} + 4 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} . \end{array}

Через те, що

x = 1

не є коренем чисельника, вираз неможливо спростити.

Попередня стаття

Як знайти похідні за допомогою правила добутку

Наступна стаття

Як скласти діаграму знаків похідних функції

Повернутися