>Основи функцій>Обчислення нулів або коренів функції

Обчислення нулів або коренів функції

Нулi або коренi функцiї вказують на точки перетину графiка з вiссю $x$ . Оскiльки йдеться про точки перетину з вiссю $x$ , ми знаємо, що $y = 0$ . Це означає, що знайти нулi можна, розв’язавши рiвняння $f (x) = 0$ .

Правило

Нулi

Щоб знайти нулi функцiї, розв’язуємо рiвняння

f (x) = 0 .

З дiаграми знакiв для $f (x)$ дiзнаємося, коли графiк $f$ знаходиться вище чи нижче осi $x$ i в яких точках $f (x)$ перетинає вiсь $x$ .

Приклад 1

Знайди нулi функцiї $f (x) = x^{2} + 5 x + 6$

Щоб знайти нулi, розв’язуємо рiвняння $f (x) = x^{2} + 5 x + 6 = 0$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} \\ = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ = \frac{- 5 \pm 1}{2} \end{array}$

Отримуємо

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3, \\ x_{2} & = \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 . \end{array}

Отже, графiк перетинається з вiссю $x$ у точках $(- 3, 0)$ i $(- 2, 0)$ .

Приклад 2

Знайди нулi функцiї $g (x) = 2 \sin (2 x) + 1$ в межах iнтервалу $x \in [0, π)$

Знову-таки, щоб знайти нулi, розв’язуємо рiвняння $g (x) = 0$ : $\begin{array}{l} 2 \sin (2 x) + 1 & = 0 \\ \sin (2 x) & = - \frac{1}{2} \end{array}$

Основне рiвняння має розв’язки

\begin{array}{l} 2 x & = - \frac{π}{6} + 2 π n, \\ 2 x & = π - (- \frac{π}{6}) + 2 π n . \end{array}

Розв’язуємо їх для $x$ i отримуємо

\begin{array}{l} x & = - \frac{π}{12} + π n, \\ x & = \frac{7 π}{12} + π n . \end{array}

Оскiльки $x \in [0, π)$ , то отримуємо $x \in {\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}}$ . Графiк перетинає вiсь $x$ у точках $(\frac{7 π}{12}, 0)$ i $(\frac{11 π}{12}, 0)$ .

Попередня стаття

Як обчислити та інтерпретувати точки перетину

Повернутися