Як обчислити та інтерпретувати точки перетину

Оскiльки $f(x)=y$ i $g(x)=y$, то можна задати їх рiвними одна однiй:

Пiдстав $x$ у $f(x)=-x-1$, тому що це найпростiший вираз iз двох. Можна також пiдставити $x$ у $g(x)$.

Отримуємо точку перетину мiж $f(x)$ i $g(x)$

Оскiльки $f(x)=y$ i $g(x)=y$, то можна задати їх рiвними одна однiй:

Розв’яжи квадратне рiвняння за формулою для коренiв квадратного рiвняння:

а отже,

Пiдстав $x_1$ i $x_2$ у $g(x)=2x+3$, тому що це найпростiший вираз. Можна також пiдставити значення у $f(x)$.

Отримуємо точки перетину мiж $f(x)$ i $g(x)$

Знайди точку перетину мiж графiками, задавши їх рiвними один одному:

Важливо переконатися, що ми не пропустили жодного розв’язку, оскiльки дiлили на $\cos x$, який може бути рiвним 0. Для перевiрки дивимося, що станеться, якщо $\cos x=0$. Тодi $x=\frac{\pi }{2}$, що означає, що $\sin x=1$, або $x=\frac{3\pi }{2}$, що означає, що $\sin x=-1$. В обох випадках $\sin x$ вiдрiзняється вiд $\cos x$, а отже, це не розв’язки.

Iснує нескiнченна кiлькiсть точок перетину, i точки мають значення $x$, що дорiвнюють $x=\frac{\pi }{4}+n\pi$ для $n\in \mathbb{Z}$. Щоб знайти значення $y$, пiдставляємо їх в одну з функцiй, наприклад у $f(x)=\sin x$. У цьому випадку потрiбно розумiти, що навiть якщо $\tan x$ має перiод $\pi$, ми знайшли два рiзних кути на одиничному колi з радiанами $\pi$ мiж ними. Ось чому отримуємо два рiзних значення, коли знову пiдставляємо в $f(x)=\sin x$:

Це два рiзних значення $y$, $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ i $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, кожне з яких належить вiдповiдному куту на одиничному колi. Цi кути повторюються з перiодом $2\pi$. Разом отримуємо двi рiзнi точки перетину: