>Тригонометричні формули>Як розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння

Як розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння

Розв’язуючи тригонометричнi рiвняння, дуже важливо включити всi розв’язки! Це означає, що треба знати про перiод функцiї, з якою ти маєш справу, й те, як вiн впливає на кiлькiсть розв’язкiв.

Правило

Найпростiшi тригонометричнi рiвняння

Якщо $a, b \in [- 1, 1]$ та $n \in ℤ$ , то справджуються такi рiвностi:

\begin{array}{l} \sin x = a \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \\ x & = π - u + n \cdot 2 π \\ \cos x = b \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \\ x & = - u + n \cdot 2 π \\ \tan x = c \Rightarrow x & = u + n \cdot π \end{array}

\begin{array}{l} \sin x = a \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \lor x = π - u + n \cdot 2 π \\ \cos x = b \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \lor x = - u + n \cdot 2 π \\ \tan x = c \Rightarrow x & = u + n \cdot π \end{array}

Тут

u

— це число, яке ми знайдемо для

\sin^{- 1} (a)

\cos^{- 1} (b)

або

\tan^{- 1} (c)

Зверни увагу! Дуже важливо перевiрити, якi значення

x

дозволяється мати. Вони вiдрiзняються для кожної задачi та впливають на те, якi значення для

n

можна використовувати у своїй вiдповiдi.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) = 2$ for $x \in (0, 2 π)$

Почнемо з перетворення рiвняння, щоб отримати член iз $\cos$ сам по один бiк рiвностi:

\begin{array}{l} 4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = 2, \\ \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = \frac{1}{2} . \end{array}

Його розв’язками є

\begin{align} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{3} + n \cdot 2 π, & (1) \\ π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π . & (2) \end{align}

Спочатку використаємо (1):

\begin{array}{l} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ π x_{1} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ x_{1} & = - \frac{1}{3} + 2 n \end{array}

Потiм перейдемо до (2):

\begin{array}{l} π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ π x_{2} & = - π + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = - 1 + 2 n \end{array}

У завданнi потрiбно знайти всi розв’язки, що знаходяться в iнтервалi $x \in (0, 2 π)$ . Обчислимо їх, розглядаючи $x_{1}$ та $x_{2}$ щодо цього iнтервалу..

Спершу погляньмо на $x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 n$ . Якщо пiдставимо $n = 1$ , то отримаємо

x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 \cdot 1 = \frac{5}{3},

що знаходиться в межах iнтервалу. Перевiривши $n = 2$ , отримаємо

x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 \cdot 2 = \frac{11}{3} \in (0, 2 π) .

Потiм перевiримо $n = 3$ ,

x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 \cdot 3 = \frac{17}{3},

що також знаходиться в межах iнтервалу. Ти помiтив/ помiтила, що якщо перевiримо $n = 4$ , вiдповiдь буде поза iнтервалом $(0, 2 π \approx 6.28)$ . Це означає, що ми знайшли всi розв’язки для $x_{1}$ . Тепер треба зробити те саме для $x_{2} = - 1 + 2 n$ . Щоб значення були частиною розв’язку, вони, як i ранiше, мають бути в межах iнтервалу. Отримаємо

\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 1 = 1 \in (0, 2 π) \\ n = 2 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 2 = 3 \in (0, 2 π) \\ n = 3 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 3 = 5 \in (0, 2 π) \\ n = 4 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 4 = 7 \notin (0, 2 π) \end{array}

Як бачимо, останнє значення знаходиться поза iнтервалом. Це означає, що розв’язками в iнтервалi $(0, 2 π)$ є:

x \in {1, \frac{5}{3}, 3, \frac{11}{3}, 5, \frac{17}{3}} .

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ вiдносно $x \in [0, 2 π)$

Найпростiше рiвняння

\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

має розв’язки

\begin{align} 2 x_{1} - \frac{π}{3} & = \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) + n \cdot 2 π, & (3) \\ 2 x_{2} - \frac{π}{3} & = π - \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) + n \cdot 2 π . & (4) \end{align}

Спочатку продовжимо працювати з (3):

\begin{array}{l} 2 x_{1} - \frac{π}{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ 2 x_{1} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π | : 2 \\ x_{1} & = \frac{π}{4} + n \cdot π \end{array}

Пiсля цього перейдемо до (4):

\begin{array}{l} 2 x_{2} - \frac{π}{3} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ 2 x_{2} & = \frac{7 π}{6} + n \cdot 2 π | : 2 \\ x & = \frac{7 π}{12} + n \cdot π \end{array}

Тепер потрiбно знайти розв’язки з $x_{1}$ та $x_{2}$ . Значення мають знаходитися в iнтервалi $x \in [0, 2 π)$ , щоб вони були одним iз розв’язкiв. Для $x_{1} = \frac{π}{4} + 2 π$ маємо