>Тригонометричні формули>Як розв’язувати тригонометричні рівняння за допомогою тотожностей

Як розв’язувати тригонометричні рівняння за допомогою тотожностей

Деякi рiвняння мають декiлька членiв iз тригонометричними функцiями. У такому разi треба використовувати тригонометричнi тотожностi для групування iксiв $x$ . Ось декiлька прикладiв використання тригонометричних тотожностей у рiвняннях.

Приклад 1

Рiвняння виду $a \cos v + b \sin v = 0$

У цьому випадку ми дiлимо на $\cos x \neq 0$ обидвi частини рiвняння, щоб отримати вираз iз $\tan x$ . Це працює, тому що $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ . Нарештi в цьому прикладi потрiбно перевiрити випадок, коли $\cos 2 x = 0$ , щоб переконатися, що ми не пропустимо жодного розв’язку.
Розв’яжи рiвняння
$4$ (1)

вiдносно $x \in [0, 4 π)$ .

\begin{array}{l} 4 \cos 2 x + 4 \sin 2 x & = 0 | : 4 \\ \cos 2 x + \sin 2 x & = 0 | : \cos 2 x \neq 0 \\ \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x} + \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} & = 0 \\ 1 + \tan 2 x & = 0 \\ \tan 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \\ x & = \frac{3 π}{8} + n \cdot \frac{π}{2} \end{array}

В iнтервалi

[0, 4 π)

отримаємо такi розв’язки

\begin{array}{l} x \in & {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \\ \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}} . \end{array}

x \in {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}} .

Тепер потрiбно перевiрити, чи дає

\cos 2 x = 0

якiсь розв’язки. Зверни увагу, що

\cos 2 x = 0

збiгається iз

\sin 2 x = 1

або

\sin 2 x = - 1

\begin{array}{l} \sin 2 x & = 1 \\ \lor \\ \sin 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ \lor \\ 2 x & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{π}{4} + n \cdot π \\ \lor \\ x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \end{array}

\begin{array}{l} \sin 2 x & = 1 & \lor & \sin 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π & \lor & 2 x & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{π}{4} + n \cdot π & \lor & x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \end{array}

Звiдси отримаємо такi розв’язки в iнтервалi

[0, 4 π)

x \in {\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4}, \frac{11 π}{4}, \frac{13 π}{4}, \frac{15 π}{4}}

Тепер потрiбно перевiрити цi розв’язки в основному рiвняннi (1):

$x = \frac{π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{3 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{3 π}{4})) + 4 \sin (2 \cdot \frac{3 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{5 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{5 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{5 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{7 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{9 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{9 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{9 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{11 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{11 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{11 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{13 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{13 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{13 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

$x = \frac{15 π}{4}$ : $\begin{array}{l} LHS & = 4 \cos (2 \cdot \frac{15 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{15 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = RHS \end{array}$

Формула (1) бiльше розв’язкiв не має, й можна дiйти висновку, що розв’язками в iнтервалi $[0, 4 π)$ є:

x \in {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}}

Зверни увагу! Це дуже громiздкий спосiб перевiрки того, чи $\cos 2 x = 0$ дає декiлька розв’язкiв, але вiн завжди спрацьовує! Iнший спосiб перевiрити, чи $\cos 2 x = 0$ — це подивитися на основне рiвняння та, використовуючи свої знання про тригонометричнi тотожностi, проаналiзувати його.

Приклад 2

Рiвняння виду

a \cos (2 x) + b \cos x + c = 0

потребує використання таких тотожностей
$\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

та
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 .$

Розв’яжи рiвняння
$\cos (2 x) + \cos x + 1 = 0, x \in [0, 2 π) .$

\begin{array}{l} \cos (2 x) + \cos x + 1 & = 0 \\ \cos^{2} x - \sin^{2} x + \cos x + 1 & = 0 \\ \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) + \cos x + 1 & = 0 \\ 2 \cos^{2} x + \cos x & = 0 \\ \cos x (2 \cos x + 1) & = 0 \end{array}

Використаємо правило нульового добуткута розглянемо два рiвняння

\cos x = 0

and

2 \cos x + 1 = 0

. Рiвняння

\cos x = 0

має такi розв’язки

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π, \\ x_{2} & = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π . \end{array}

Перепишемо рiвняння $2 \cos x + 1 = 0$ як найпростiше тригонометричне рiвняння $\cos x = - \frac{1}{2}$ . Його розв’язками є

\begin{array}{l} x_{3} & = \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π, \\ x_{4} & = - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π . \end{array}

Це означає, що розв’язками для iнтервалу $[0, 2 π)$ є

x \in {\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}} .

Приклад 3

Рiвняння виду

a \cos^{2} x - b \sin x = c

потребує використання такої тотожностi
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$

i пiдстановки.
Розв’яжи рiвняння
$2 \cos^{2} x - \sin x = 1, x \in [0, 2 π)$

\begin{array}{l} 2 (1 - \sin^{2} x) - \sin x & = 1 \\ 2 - 2 \sin^{2} x - \sin x & = 1 \\ - 2 \sin^{2} x - \sin x + 1 & = 0 \end{array}

Виконаємо пiдстановку

u = \sin x

у цьому рiвняннi, що дає нам

- 2 u^{2} - u + 1 = 0 .

Розв’яжемо квадратне рiвняння:

u = \frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{- 4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{- 4}

Його розв’язками є

u_{1} = - 1 u_{2} = \frac{1}{2} .

Тепер замiняємо $\sin x$ знову на $u$ :

\begin{array}{l} \sin x & = - 1 \\ x_{1} & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = π - \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x_{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{4} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ = \frac{5 π}{6} + n \cdot 2 π \end{array}

\begin{array}{l} \sin x & = - 1 & \sin x & = \frac{1}{2} \\ x_{1} & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π & x_{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = π - \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π & x_{4} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π & = \frac{5 π}{6} + n \cdot 2 π \end{array}

Розв’язками в iнтервалi

[0, 2 π)

є:

x \in {\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}}

Зверни увагу, що $- \frac{π}{2}$ не входить до розв’язкiв. Це тому, що вiн знаходиться поза iнтервалом, який ми розглядаємо.

Попередня стаття

Як розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння

Повернутися

Рiвняння виду acos ⁡ v + bsin ⁡ v = 0

Рiвняння виду $a \cos v + b \sin v = 0$