>Диференціювання>Як визначити, чи є функція диференційовною?

Як визначити, чи є функція диференційовною?

Поряд iз неперервнiстю можна також говорити про те, чи є функцiя диференцiйовною. Функцiя є диференцiйовною в точцi, якщо вона одночасно неперервна в точцi i не має «каспа». Касп з’являється у разi раптової змiни кутового коефiцiєнта функцiї. Приклад можна побачити на зображеннi нижче.

Функцiї з «каспом» виникають, якщо ми маємо так звану кусково-задану функцiю. Це означає, що функцiя має один вираз в одному iнтервалi, а iнший — в iншому iнтервалi. На рисунку нижче можна побачити, що $f (x) = x^{2} + 2$ , якщо $x \leq 1$ (графiк синього кольору), i що $f (x) = - 2 x + 5$ , якщо $x > 1$ (графiк рожевого кольору). Математично це записується так:

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2, & якщо x ≤ 1, \\ - 2 x + 5, & якщо x > 1. \end{matrix}

Диференцiйовнiсть функцiї

Навiть попри те, що графiк у цьому випадку є неперервним для $x = 1$ , вiн не є диференцiйовним для $x = 1$ . Касп виникає, якщо можна провести кiлька дотичних до графiка. У точках на графiку, через якi можна провести багато дотичних, похiдна не визначена, i можна сказати, що функцiя не є диференцiйовною.

Щоб правильно пояснити диференцiйовнiсть, потрiбно знати, що означають права та лiва границi.

Теорiя

Права та лiва границi

Границя $f (a)$ — це права границя, коли ми наближаємося до точки $x = a$ зi значеннями $x$ , вищими за $a$ . Записуємо
$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) .$
Границя $f (a)$ — це лiва границя, коли ми наближаємося до точки $x = a$ зi значеннями $x$ , нижчими за $a$ . Записуємо
$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) .$

Тепер наведемо визначення диференцiйовностi

Теорiя

Диференцiйовнiсть

Ми кажемо, що функцiя диференцiйовна в точцi $x = a$ , якщо $f (x)$ неперервна в точцi $x = a$ i

\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x) .

Зверни увагу! Коли ми перевiряємо диференцiйовнiсть кусково-заданої функцiї, то використовуємо вираз для значень, менших за $a$ в $\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x)$ , i вираз для значень, бiльших за $a$ в $\lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x)$ .

Приклад 1

Визнач, чи функцiя
$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2, & якщо x ≤ 1, \\ - 2 x + 5, & якщо x > 1 \end{matrix}$

з рисунка вище є диференцiйовною

Щоб вiдповiсти на це запитання, спочатку потрiбно перевiрити, чи є $f (x)$ неперервною. Чи є $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ для всiх $a \in ℝ$ ? Для $a \leq 1$ маємо

\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} x^{2} + 2 = a^{2} + 2 = f (a),

а для $a > 1$ маємо

\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} - 2 x + 5 = - 2 a + 5 = f (a) .

Границi iснують, i можна зробити висновок, що $f (x)$ є неперервною.

Тепер потрiбно перевiрити, чи

\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x)

для всiх $x \in ℝ$ . Спочатку знаходимо $f^{'} (x)$ :

f^{'} (x) = {\begin{matrix} 2 x, & якщо x ≤ 1, \\ - 2, & якщо x > 1. \end{matrix}

Перевiряємо, чи є $f$ диференцiйовною в точцi $x = 1$ . Спочатку знаходимо лiву границю:

\lim_{x \to 1^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to 1^{-}} 2 x = 2 \cdot 1 = 2 .

Потiм знаходимо праву границю:

\lim_{x \to 1^{+}} f^{'} (x) = \lim_{x \to 1^{+}} - 2 = - 2 .

Оскiльки

\lim_{x \to 1^{-}} f^{'} (x) = 2 \neq - 2 = \lim_{x \to 1^{+}} f^{'} (x),

ми знаємо, що $f (x)$ не є диференцiйовною в точцi $x = 1$ .

Приклад 2

З’ясуй, у якiй точцi функцiя
$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 4}$

є одночасно неперервною та диференцiйовною

Оскiльки це рацiональна функцiя, то вiдомо, що вона переривчаста в точках, де має вертикальнi асимптоти, тобто де її знаменник дорiвнює 0. А отже, потрiбно розв’язати рiвняння:

\begin{array}{l} x^{2} - 4 & = 0 \\ x^{2} & = 4 \\ x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{array}

Це означає, що функцiя $f (x)$ неперервна для всiх значень $x$ , крiм $x = 2$ i $x = - 2$ . Записуємо це математично як $x \in ℝ ∖ {- 2, 2}$ (усi $x$ у $ℝ$ , крiм $x = - 2$ i $x = 2$ ).

Оскiльки функцiя має бути неперервною в точцi, щоб бути диференцiйовною в цiй точцi, то можна зробити висновок, що функцiя не є диференцiйовною в точках $x = - 2$ i $x = 2$ . Запитання в тому, чи є iншi точки, в яких $f (x)$ не є диференцiйовною. Щоб перевiрити це, з’ясовуємо, чи

\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x)

для всiх значень $x$ . Спочатку знаходимо вираз для похiдної:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \frac{4 x \cdot (x^{2} - 4) - (2 x^{2} - 3) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ = \frac{4 x^{3} - 16 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ f^{'} (a) & = \frac{- 10 a}{{(a^{2} - 4)}^{2}} \end{array}

Як ми знаємо, $f^{'} (a)$ визначається для всiх $a$ , окрiм випадкiв, коли знаменник $f^{'} (a)$ не визначено. Це можливо, якщо знаменник дорiвнює 0. Задаємо знаменник рiвним 0 i розв’язуємо рiвняння для $a$ : $\begin{array}{l} {(a^{2} - 4)}^{2} & = 0 \\ a^{2} - 4 & = 0 \\ a^{2} & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{array}$

Це означає, що $f (x)$ є диференцiйовною для всiх $x \in ℝ ∖ {- 2, 2}$ (усi $x$ в $ℝ$ , крiм $x = - 2$ i $x = 2$ ).

Попередня стаття

Що означає визначення похідної?

Наступна стаття

Правила диференціювання для знаходження похідних

Повернутися