Як довести теорему про вписаний кут

Коло з вписаним кутом i центральним кутом

Кут, що лежить на межi кола, називається вписаним кутом.

Кут, що лежить у центрi кола, називається центральним кутом.

Формула

Якщо вписаний кут $v$ охоплює той самий круговий сектор й центральний кут $u$ , то центральний кут вдвiчi бiльший за вписаний кут:

u = 2 \cdot v .

Помiркуй

Подивись уважно на рисунок!

Доведення теореми про вписаний кут

З рисунка отримуємо таку iнформацiю:

Об’єднавши всю цю iнформацiю, отримаємо:

\begin{array}{l} u & = 360 ° - w - z \\ = 360 ° - (180 ° - 2 x) - (180 ° - 2 y) \\ = 360 ° - 180 ° + 2 x - 180 ° + 2 y \\ = 2 x + 2 y \\ = x + x + y + y \\ = (x + y) + (x + y) \\ = v + v \\ = 2 v \\ що й треба було довести. \end{array}

Q.E.D

Приклад 1

Знайди всi кути таких трикутникiв

Знаючи вписаний кут, можна знайти центральний кут, тому що вiн вдвiчi бiльший. Отже,

∠ S = 2 \cdot 40 ° = 80 ° .

Трикутник $△ A S C$ має двi рiвнi сторони, тому що $A S = C S$ — це радiуси кола. Отже,

∠ C A S = ∠ A C S = \frac{180 ° - 80 °}{2} = 50 ° .

Трикутник $△ A B C$ має кут $∠ B = 40 °$ ; потрiбно знайти кути $∠ C A B$ та $∠ A C B$ . Знаючи, що кут $∠ S A B = 20 °$ , отримаємо

∠ C A B = 50 ° + 20 ° = 70 ° .

Тодi останнiй кут

∠ A C B = 180 ° - 40 ° - 70 ° = 70 ° .

Ми знайшли всi кути обидвох трикутникiв.