>Степені>Який зв'язок між степенями та коренями?

Який зв'язок між степенями та коренями?

a^{n}

складається з основи $a$ i показника $n$ . Основа $a$ — це число, яке множиться саме на себе $n$ разiв.

\begin{matrix} a^{n} = \underset{n разiв}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \dots a}} \\ \underset{n разiв}{\underset{⏟}{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \dots \sqrt[n]{a}}} = {(\sqrt[n]{a})}^{n} = a \end{matrix}

Правило

Правила пiднесення до степеня

\begin{array}{l} a^{0} & = 1 \\ {(a^{p})}^{q} & = a^{p \cdot q} \\ \frac{1}{a^{- q}} & = a^{q} \\ a^{\frac{p}{q}} & = \sqrt[q]{(a^{p})} \\ a^{p} \cdot a^{q} & = a^{p + q} \\ a^{\frac{p}{q}} & = {(\sqrt[q]{a})}^{p} \\ \frac{a^{p}}{a^{q}} & = a^{p - q} \\ \sqrt[q]{a} \sqrt[q]{b} & = \sqrt[q]{a b} \\ {(a \cdot b)}^{p} & = a^{p} \cdot b^{p} \\ \frac{\sqrt[q]{a}}{\sqrt[q]{b}} & = \sqrt[q]{\frac{a}{b}} \\ {(\frac{a}{b})}^{p} & = \frac{a^{p}}{b^{p}} \end{array}

\begin{array}{l} a^{0} & = 1 & {(a^{p})}^{q} & = a^{p \cdot q} \\ \frac{1}{a^{- q}} & = a^{q} & a^{\frac{p}{q}} & = \sqrt[q]{(a^{p})} \\ a^{p} \cdot a^{q} & = a^{p + q} & a^{\frac{p}{q}} & = {(\sqrt[q]{a})}^{p} \\ \frac{a^{p}}{a^{q}} & = a^{p - q} & \sqrt[q]{a} \sqrt[q]{b} & = \sqrt[q]{a b} \\ {(a \cdot b)}^{p} & = a^{p} \cdot b^{p} & \frac{\sqrt[q]{a}}{\sqrt[q]{b}} & = \sqrt[q]{\frac{a}{b}} \\ {(\frac{a}{b})}^{p} & = \frac{a^{p}}{b^{p}} \end{array}

Зверни увагу! $\frac{1}{a} = a^{- 1}$

Зверни особливу увагу на той факт, що $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ . Це називається квадратним коренем $a$ . Також $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ ; це називається $n$ -м степенем $a$ . Якщо $n$ є парним числом, отримуємо парний корiнь, наприклад: $\sqrt[4]{a}, \sqrt[6]{a}, \sqrt[8]{a}, \dots$ Так само, якщо $n$ є непарним числом, отримуємо непарний корiнь, наприклад: $\sqrt[3]{a}, \sqrt[5]{a}, \sqrt[7]{a}, \dots$ Рiзниця мiж парними та непарними коренями полягає в тому, що парнi коренi визначаються лише для $a \geq 0$ . У непарних коренях $a$ може бути як додатним, так i вiд’ємним.

Зверни увагу! Не можна добути парний корiнь з вiд’ємного числа. $\sqrt[4]{- 2} =$ не визначається!

Приклад 1

Запиши вираз $\frac{a^{0} 2^{3} b}{a^{2} b^{- 2}}$ у максимально спрощеному виглядi

\frac{a^{0} 2^{3} b}{a^{2} b^{- 2}} = \frac{1 \cdot 8 \cdot b^{1 + 2}}{a^{2}} = \frac{8 b^{3}}{a^{2}}

Приклад 2

Запиши вираз $\frac{3^{2} \cdot x y^{- 4}}{x^{- 4} y^{- 2}}$ у максимально спрощеному виглядi

\frac{3^{2} \cdot x y^{- 4}}{x^{- 4} y^{- 2}} = \frac{9 x^{1 + 4}}{y^{- 2 + 4}} = \frac{9 x^{5}}{y^{2}}

Приклад 3

Запиши вираз $\frac{2 a^{4} \cdot {(a b)}^{- 4} \cdot b^{5}}{{(a^{2} b)}^{- 6} \cdot 2 b^{5}}$ у максимально спрощеному виглядi

\begin{array}{l} \frac{2 a^{4} \cdot {(a b)}^{- 4} \cdot b^{5}}{{(a^{2} b)}^{- 6} \cdot 2 b^{5}} & = \frac{2 a^{4} a^{- 4} b^{- 4} b^{5}}{a^{- 12} b^{- 6} 2 b^{5}} \\ = 2^{1 - 1} a^{4 - 4 + 12} b^{- 4 + 6 + 5 - 5} \\ = 2^{0} a^{12} b^{2} \\ = a^{12} b^{2} \end{array}

Приклад 4

Запиши вираз $\frac{2 a^{\frac{3}{2}} b}{2 a^{- \frac{3}{2}}}$ у максимально спрощеному виглядi

\frac{2 a^{\frac{3}{2}} b}{2 a^{- \frac{3}{2}}} = \frac{2 a^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}} b}{2} = a^{\frac{6}{2}} b = a^{3} b

Зверни увагу! Якщо ми маємо вiд’ємний показник, то варто записати степiнь у виглядi дробу, тому що в бiльшостi випадкiв з додатними показниками легше мати справу.

Попередня стаття

Приклади розв'язання степенів змінних

Повернутися