>Раціональні, квадратні нерівності та нерівності вищого степеня>Що таке раціональні нерівності?

Що таке раціональні нерівності?

Рацiональнi нерiвностi — це нерiвностi, що мають $x$ у знаменнику.

Правило

Розв’язування рацiональних нерiвностей

1.: Перенеси всi члени в лiву частину нерiвностi.
2.: Запиши вираз у лiвiй частинi у виглядi єдиного дробу.
3.: Окремо розклади на множники чисельник i знаменник.
4.: Побудуй дiаграму знакiв i знайди розв’язок.

Приклад 1

Розв’яжи нерiвнiсть $\frac{3 x + 7}{x + 1} > 2 x + 3$

\begin{array}{l} \frac{3 x + 7}{x + 1} & > 2 x + 3 \\ \frac{3 x + 7}{x + 1} - (2 x + 3) & > 0 \\ \frac{3 x + 7}{x + 1} - \frac{(2 x + 3) (x + 1)}{x + 1} & > 0 \\ \frac{3 x + 7 - 2 x^{2} - 2 x - 3 x - 3}{x + 1} & > 0 \\ \frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4}{x + 1} & > 0 \\ \frac{- 2 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} & > 0 \\ \frac{- 2 (x + 2) (x - 1)}{x + 1} & > 0 \end{array}

Тепер будуємо дiаграму знакiв для кожного множника i об’єднуємо всi дiаграми:

Дiаграма знакiв для виразу -2(x+2)(x-1)/(x+1), що є результатом об’єднання дiаграм знакiв його множникiв.

З дiаграм знакiв бачимо, що вираз є додатним у iнтервалi

(- \infty, - 2) \cup (- 1, 1) .

Хрестиком на дiаграмi позначаються точки розриву. Вираз не визначається для точок, що позначаються хрестиком, а отже, для цих точок iнтервал буде завжди вiдкритим. Причина полягає в тому, що у розв’язку не можна використовувати невизначенi точки.

Попередня стаття

Як розв'язувати нерівності третього степеня і вище

Повернутися