Як знайти кут між двома площинами

На рисунку нижче бачимо двi площини, що перетинаються. Вони зображенi у виглядi прямих, тому що ми дивимося на них збоку.

Як знайти кут мiж двома площинами

Щоб знайти кут мiж двома площинами, виконуємо тi самi дiї, що й для знаходження кута мiж прямою та площиною. Рiзниця полягає в тому, що цього разу ми знаходимо кут мiж векторами нормалей до площин ${\vec{n}}_{α}$ i ${\vec{n}}_{β}$ . Зауваж:

Якщо $γ < 90 °$ , то маємо правильний кут, i $α = γ$ .
Якщо $γ > 90 °$ , то дiйсний кут мiж двома площинами $α = 180 ° - γ$ .

Кут мiж двома площинами завжди

\leq 90 °

Приклад 1

Дано двi площини,

α

β

, з векторами нормалей

{\vec{n}}_{α} = (1, 1, 1)

{\vec{n}}_{β} = (- 2, 3, 1)

. Кут мiж двома векторами нормалей:

\begin{array}{l} \cos γ & = \frac{(1, 1, 1) \cdot (- 2, 3, 1)}{| (1, 1, 1) | \cdot | (- 2, 3, 1) |} \\ = \frac{1 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} \\ = \frac{- 2 + 3 + 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} \\ = \frac{2}{\sqrt{42}}, \\ γ & = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{42}}) \approx 72.02 ° . \end{array}

$72.02 ° < 90 °$ , тож маємо правильний кут, i $α = γ = 72.02 °$ .

Попередня стаття

Як знайти кут між прямою та площиною?

Повернутися