Як розв’язувати диференціальні рівняння другого порядку з початковими умовами

Як i для диференцiальних рiвнянь першого порядку, часто потрiбно знайти функцiю, яка є розв’язком для заданого диференцiального рiвняння з певними початковими умовами. Втiм, для диференцiальних рiвнянь другого порядку нам знадобиться двi початкових умови замiсть однiєї. Зазвичай ми отримуємо точку, тобто функцiональне значення для заданого $x$ i значення для похiдної в точцi. За цих двох умов можна знайти константи загального розв’язку та отримати частковий розв’язок. Знаходимо частковий розв’язок, пiдставивши значення для початкових умов, i розв’язуємо отриману систему рiвнянь iз двома невiдомими.

Приклад 1

Розв’яжи диференцiальне рiвняння $y^{″} + y^{'} - y = 0$ з початковими умовами $y (0) = 2$ i $y^{'} (0) = 1$

Це диференцiальне рiвняння має розв’язок

y (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} .

(1)

Похiдна (1) має вигляд

y^{'} (x) = C_{1} e^{x} - 2 C_{2} e^{- 2 x} .

Щоб знайти $C_{1}$ i $C_{2}$ , потрiбно скласти два рiвняння з двома невiдомими з початкових умов i розв’язати систему рiвнянь:

\begin{array}{l} 2 & = y (0) & 1 & = y^{'} (0) \\ = C_{1} e^{0} + C_{2} e^{0} & = C_{1} e^{0} - 2 C_{2} e^{0} \\ = C_{1} + C_{2} & = C_{1} - 2 C_{2} \\ C_{1} & = 2 - C_{2} \\ 1 & = (2 - C_{2}) - 2 C_{2} \\ = 2 - 3 C_{2} \\ C_{2} & = \frac{1}{3} \\ C_{1} & = 2 - \frac{1}{3} \\ = \frac{5}{3} \end{array}

Пiдставляємо значення $C_{1}$ i $C_{2}$ в загальний розв’язок (1), щоб знайти частковий розв’язок:

y (x) = \frac{5}{3} e^{x} + \frac{1}{3} e^{- 2 x} .