Однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Диференцiальне рiвняння є однорiдним, якщо вiльний член дорiвнює 0. Лiнiйне однорiдне диференцiальне рiвняння другого порядку з постiйними коефiцiєнтами можна записати у такому виглядi:

$$y^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0.$$

Вгадавши розв’язок $y=e^{rx}$, отримуємо характеристичне рiвняння

$$r^2+br+c=0.$$

Два дiйсних розв’язки

Якщо характеристичне рiвняння має два розв’язки ($r_1$ or $r_2$), загальним розв’язком буде:

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}.$$

Один дiйсний розв’язок

Якщо характеристичне рiвняння має один розв’язок $r_1=r_2$, загальний розв’язок можна записати так:

$$y=C_1{e}^{rx}+C_{2}x{e}^{rx}.$$

Два комплексних розв’язки

Якщо $r_1$ i $r_2$ — комплекснi числа, загальний розв’язок можна записати так:

$$y=e^{Ax}(C_1\sin Bx+C_2\cos Bx),$$

де $r_1=A+Bi$, а $r_2=A-Bi$. Пригадаємо, що $i=\sqrt{-1}$.

Рекомендуємо вивчити цi формули напам’ять!