Як розв’язувати точні диференціальні рівняння другого порядку

Точнi диференцiальнi рiвняння другого порядку розв’язуємо так само, як i точнi диференцiальнi рiвняння першого порядку. Iнтегруємо вирази по правий та лiвий бiк рiвняння. Єдина вiдмiннiсть полягає в тому, що для диференцiального рiвняння другого порядку це потрiбно зробити двiчi, оскiльки воно мiстить похiднi другого порядку.

\begin{array}{l} y^{″} & = f (x) \\ ⇓ \\ y^{'} & = \int f (x) d x \\ = F_{0} (x) + C_{1} \\ ⇓ \\ y & = \int y^{'} d x \\ = \int (F_{0} (x) + C_{1}) d x \\ = F (x) + C_{1} x + C_{2} \end{array}

\begin{array}{l} y^{″} & = f (x) \\ ⇓ \\ y^{'} & = \int f (x) d x = F_{0} (x) + C_{1} \\ ⇓ \\ y & = \int y^{'} d x = \int (F_{0} (x) + C_{1}) d x = F (x) + C_{1} x + C_{2} \end{array}

Приклад 1

Розв’яжи диференцiальне рiвняння $y^{″} = 20 x^{3} + e^{2 x}$

\begin{array}{l} y^{'} & = \int y^{″} d x \\ = \int 20 x^{3} + e^{2 x} d x \\ = 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} \\ y & = \int y^{'} d x \\ = \int 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} d x \\ = x^{5} + \frac{1}{4} e^{2 x} + C_{1} x + C_{2} \end{array}

\begin{array}{l} y^{'} & = \int y^{″} d x = \int 20 x^{3} + e^{2 x} d x = 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} \\ y & = \int y^{'} d x = \int 5 x^{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{1} d x = x^{5} + \frac{1}{4} e^{2 x} + C_{1} x + C_{2} \end{array}