>Інтеграли>Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл

Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл

Iнтеграли переважно дiлять на двi категорiї: визначенi та невизначенi iнтеграли. Невизначений iнтеграл — це те саме, що й антипохiдна.

Складнiсть полягає в тому, що ми шукаємо вираз, не визначаючи вiльний член. Символ $C$ , який ми додаємо до кiнця iнтеграла, якраз i позначає цю невiдому константу. Коли ми шукаємо константу, то залежимо вiд обмежень, наприклад мусимо використовувати $C$ метод пiдстановки та розв’язання рiвнянь.

Теорiя

Невизначений iнтеграл

\int f (x) d x = F (x) + C, F^{'} (x) = f (x)

Тут $f (x)$ має назву пiдiнтегральна функцiя, а $C$ — константа iнтеграла.

Приклад 1

Обчисли iнтеграл $\int \ln x + e^{x} + x^{3} d x$

$\begin{array}{l} \int \ln x + e^{x} + x^{3} d x & = x \ln x - x + e^{x} \\ + \frac{1}{4} x^{4} + C \end{array}$

$\begin{array}{l} \int \ln x + e^{x} + x^{3} d x = x \ln x - x + e^{x} + \frac{1}{4} x^{4} + C \end{array}$

Приклад 2

Обчисли iнтеграл

$\int 3 \cos (3 x) - 4 \sin (2 x) d x$

$\int 3 \cos (3 x) - 4 \sin (2 x) d x$

$\begin{array}{l} \int 3 \cos (3 x) - 4 \sin (2 x) d x \\ = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin (3 x) + 4 \cdot \frac{1}{2} \cos (2 x) + C \\ = \sin (3 x) + 2 \cos (2 x) + C \end{array}$

$\begin{array}{l} \int 3 \cos (3 x) - 4 \sin (2 x) d x & = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin (3 x) + 4 \cdot \frac{1}{2} \cos (2 x) + C \\ = \sin (3 x) + 2 \cos (2 x) + C \end{array}$

Приклад 3

Обчисли iнтеграл

$\int \sin (2 x) + 3 \cos (x) - e^{5 x} d x$

$\int \sin (2 x) + 3 \cos (x) - e^{5 x} d x$

$\begin{array}{l} \int \sin (2 x) + 3 \cos (x) - e^{5 x} d x \\ = - \frac{1}{2} \cos (2 x) + 3 \sin (x) - \frac{1}{5} e^{5 x} + C \end{array}$

$\int \sin (2 x) + 3 \cos (x) - e^{5 x} d x = - \frac{1}{2} \cos (2 x) + 3 \sin (x) - \frac{1}{5} e^{5 x} + C$

Попередня стаття

Як інтерпретувати й обчислювати визначений інтеграл

Наступна стаття

Як використовувати формулу інтегрування частинами

Повернутися