...

>Розрахунки з векторами>Як обчислити площу трикутника з векторами

Як обчислити площу трикутника з векторами

Площа трикутника, натягнутого на вектори $\vec{u}$ i $\vec{v}$ , дорiвнює половинi довжини вектора $\vec{u} \times \vec{v}$ . Тобто, це половина площi паралелограма. Якщо вiдомий кут мiж двома векторами, можемо скористатися формулою:

Формула

Площа трикутника з вiдомим кутом

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot | \vec{u} \times \vec{v} | = \frac{1}{2} \cdot | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin α, \\ α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

\frac{1}{2} \cdot | \vec{u} \times \vec{v} | = \frac{1}{2} \cdot | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v})

Якщо вектори мають форму векторних координат, то використовуємо формулу:

Формула

Площа трикутника з векторними координатами

\begin{array}{l} \frac{1}{2} | \vec{u} \times \vec{v} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} (x_{1}, & y_{1}, & z_{1}) \\ \times \\ (x_{2}, & y_{2}, & z_{2}) \end{matrix} | \\ = \frac{1}{2} | (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) | \end{array}

\begin{array}{l} \frac{1}{2} | \vec{u} \times \vec{v} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} (x_{1}, & y_{1}, & z_{1}) \\ \times \\ (x_{2}, & y_{2}, & z_{2}) \end{matrix} | \\ = \frac{1}{2} | (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) | \end{array}

Два вектора й площа трикутника, натягнутого на вектори

Приклад 1

Знайди площу трикутника, натягнутого на вектори $\vec{u} = (1, 3, 2)$ i $\vec{v} = (3, 2, 4)$ .

Спочатку знаходимо векторний добуток векторiв, який дорiвнює

(16, 2, 11)

. Довжина цього вектора дорiвнює площi паралелограма, натягнутого на вектори

\vec{u}

i

\vec{v}

. А отже, потрiбно подiлити довжину на

2

— i знайдемо площу трикутника.

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \sqrt{1 6^{2} + 2^{2} + 1 1^{2}} & = \frac{1}{2} \sqrt{256 + 4 + 121} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{381} \\ \approx 9.8 \end{array}

Площа трикутника приблизно дорiвнює $9.8$ .

Попередня стаття

Як знайти площу паралелограма з векторами

Наступна стаття

Як обчислити об'єм призми та піраміди з векторами

Повернутися