Як знайти площу паралелограма з векторами

Площа паралелограма, натягнутого на вектори $\vec{u}$ i $\vec{v}$ , дорiвнює довжинi вектора $\vec{u} \times \vec{v}$ .

Якщо вiдомий кут мiж двома векторами, можемо скористатися формулою:

Формула

| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v})

Якщо вектори мають форму векторних координат, то використовуємо формулу:

Формула

\begin{array}{l} | \vec{u} \times \vec{v} | & = | \begin{matrix} (x_{1}, & y_{1}, & z_{1}) \\ \times \\ (x_{2}, & y_{2}, & z_{2}) \end{matrix} | \\ = | (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) | \end{array}

| \vec{u} \times \vec{v} | = | \begin{matrix} (x_{1}, & y_{1}, & z_{1}) \\ \times \\ (x_{2}, & y_{2}, & z_{2}) \end{matrix} | = | (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) |

Приклад 1

Знайди площу паралелограма, натягнутого на вектори $\vec{u} = (1, 3, - 2)$ i $\vec{v} = (- 3, 2, 4)$ .

Спочатку знаходимо векторний добуток:

\begin{array}{l} \vec{u} \times \vec{v} = \begin{matrix} (1, & 3, & - 2) \\ \times \\ (- 3, & 2, & 4) \end{matrix} \\ = (3 \cdot 4 - 2 \cdot (- 2), (- 2) \cdot (- 3) - 1 \cdot 4, \\ 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot 3) \\ = (12 + 4, 6 - 4, 2 + 9) \\ = (16, 2, 11) \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} \times \vec{v} & = \begin{matrix} (1, & 3, & - 2) \\ \times \\ (- 3, & 2, & 4) \end{matrix} \\ = (3 \cdot 4 - 2 \cdot (- 2), (- 2) \cdot (- 3) - 1 \cdot 4, 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot 3) \\ = (12 + 4, 6 - 4, 2 + 9) \\ = (16, 2, 11) \end{array}

Довжина цього вектора дорiвнюватиме площi паралелограма. Знаходимо довжину:

\begin{array}{l} \sqrt{1 6^{2} + 2^{2} + 1 1^{2}} & = \sqrt{256 + 4 + 121} \\ = \sqrt{381} \\ \approx 19.5 \end{array}

\sqrt{1 6^{2} + 2^{2} + 1 1^{2}} = \sqrt{256 + 4 + 121} = \sqrt{381} \approx 19.5

Площа паралелограма приблизно дорiвнює

19.5

Приклад 2

Якщо дано два вектори

\vec{a}

\vec{b}

, де

| \vec{a} | = 5

| \vec{b} | = 7

, а кут мiж векторами дорiвнює

30

°, знаходимо площу паралелограма, натягнутого на цi вектори, пiдставивши вiдомi значення у формулу:

\begin{array}{l} | \vec{a} \times \vec{b} | & = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin α \\ = 5 \cdot 7 \cdot \sin 30 ° \\ = 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{35}{2} \\ = 17.5 . \end{array}

Площа паралелограма дорiвнює $17.5$ .