>Розрахунки з векторами>Як знайти скалярний добуток двох векторів (3D)

Як знайти скалярний добуток двох векторів (3D)

Скалярний добуток — це одна з найважливiших математичних операцiй iз векторами, насамперед через те, що показує, чи є два вектори перпендикулярними (кут мiж ними дорiвнює $90$ °) чи нi. Якщо два вектори перпендикулярнi один одному, їх називають ортогональними. Правило сформульовано так:

Правило

Скалярний добуток i ортогональнiсть

Ортогональнi вектори — це вектори, перпендикулярнi один до одного:

\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Мiж виразами стоїть знак еквiвалентностi. Це означає, що якщо один з них iстинний, то й iнший також є iстинним.

Є двi формули знаходження скалярного добутку. Одна використовується, коли вектори мають координатну форму, а iнша — коли вiдомi довжина векторiв i кут мiж ними.

Формула

Скалярний добуток координат вектора

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \\ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} \end{array}

\vec{u} \cdot \vec{v} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

Формула

Скалярний добуток для заданого кута

\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v})

Приклад 1

Визнач, чи є вектори $(- 4, 5, 3)$ i $(2, 3, - 1)$ ортогональними.

\begin{array}{l} (- 4, 5, 3) \cdot (2, 3, - 1) \\ = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) \\ = - 8 + 15 - 3 \\ = 4 \\ \neq 0 . \end{array}

\begin{array}{l} (- 4, 5, 3) \cdot (2, 3, - 1) & = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) \\ = - 8 + 15 - 3 \\ = 4 \\ \neq 0 . \end{array}

Оскiльки скалярний добуток не дорiвнює нулю, вектори не є ортогональними.

Приклад 2

Знайди скалярний добуток векторiв $\vec{u}$ i $\vec{v}$ довжиною $| \vec{u} | = 3$ i $| \vec{v} | = 5$ , вiдповiдно, якщо кут мiж ними $∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 90 °$ .

\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos 90 ° = 3 \cdot 5 \cdot 0 = 0

Оскiльки скалярний добуток дорiвнює $0$ , вектори $\vec{u}$ i $\vec{v}$ є перпендикулярними, а це вiдповiдає припущенню, що кут мiж ними дорiвнює $90$ °.

Приклад 3

Знайди $t$ , за якого $(- 2, 5, 2)$ i $(2 t, 9, - 1)$ будуть ортогональними.

Щоб два вектори були ортогональними, скалярний добуток має дорiвнювати $0$ . $\begin{array}{l} (- 2, 5, 2) \cdot (2 t, 9, - 1) & = 0 \\ - 4 t + 45 - 2 & = 0 \\ t & = \frac{43}{4} \end{array}$

Вектори є ортогональними, коли $t = \frac{43}{4}$ . У цьому разi вектор

(2 t, 9, - 1) = (\frac{43}{2}, 9, - 1) .

Правило

Кут мiж двома векторами

Кут $α$ мiж векторами $\vec{u}$ i $\vec{v}$

\cos α = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}, α \in [0 °, 180 °] .

Приклад 4

Знайди кут мiж векторами $\vec{u} = (3, 3, 3)$ i $\vec{v} = (2, 1, 6)$ .

Спочатку обчислюємо довжину обох векторiв:

\begin{array}{l} | \vec{u} | & = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{27} \\ | \vec{v} | & = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{41} \end{array}

Потiм знаходимо скалярний добуток:

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (3, 3, 3) \cdot (2, 1, 6) \\ = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \\ = 27 \end{array}

\vec{u} \cdot \vec{v} = (3, 3, 3) \cdot (2, 1, 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 6 = 27

Пiдставляємо числа у формулу, щоб знайти косинус кута:

\begin{array}{l} \cos α & = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} \\ = \frac{27}{\sqrt{27} \cdot \sqrt{41}} \\ = \sqrt{\frac{27}{41}} \end{array}

Нарештi, використовуємо косинус, щоб знайти кут:

α = \cos^{- 1} \sqrt{\frac{27}{41}} \approx 35.76 ° .

Приклад 5

Нехай $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ i $\vec{v} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ , де $\vec{a}$ i $\vec{b}$ — два вiдносно невiдомих вектори. Усе, що ми знаємо — це те, що $| \vec{a} | = 2$ , $| \vec{b} | = 3$ , а кут мiж $\vec{a}$ i $\vec{b}$ дорiвнює $60 °$ . Знайди кут мiж $\vec{u}$ i $\vec{v}$ .

Як у попередньому прикладi (Приклад 4), спочатку знаходимо довжину обох векторiв. Цього разу також застосовуємо певнi правила, коли усуваємо скалярний добуток i розкриваємо дужки, зокрема

\vec{a} \cdot \vec{a} = {\vec{a}}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} .

Пригадуємо, що $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$ . Отримуємо

\begin{array}{l} {| \vec{u} |}^{2} & = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} \\ = {| \vec{a} |}^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60 ° + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3^{2} \\ = 4 + 6 + 9 \\ = 19, \\ {| \vec{v} |}^{2} & = (2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) \\ = 4 {\vec{a}}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} \\ = 4 {| \vec{a} |}^{2} - 4 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60 ° + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3^{2} \\ = 16 - 12 + 9 \\ = 13 . \end{array}

Потiм у той самий спосiб знаходимо скалярний добуток:

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) \\ = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - {\vec{b}}^{2} \\ = 2 {| \vec{a} |}^{2} + | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60 ° - {| \vec{b} |}^{2} \\ = 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - 3^{2} \\ = 8 + 3 - 9 \\ = 2 . \end{array}

Пiдставляємо цi значення у формулу, щоб знайти косинус кута:

\begin{array}{l} \cos α & = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} \\ = \frac{2}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{13}} \\ = \frac{2}{\sqrt{247}} . \end{array}

Нарештi, отримуємо кут:

α = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{247}}) \approx 82.51 ° .

Попередня стаття

Вектори в тривимірному просторі

Наступна стаття

ЩО таке векторний добуток?

Повернутися