>Другий порядок>Як використовувати метод знижування порядку для розв'язання диференціальних рівнянь

Як використовувати метод знижування порядку для розв'язання диференціальних рівнянь

Якщо ми маємо диференцiальне рiвняння без $y$ , а лише з похiдними вiд $y$ , то можемо скористатися методом пiдстановки, щоб знизити порядок рiвняння. Пiдставляємо $u = y^{'}$ i отримуємо $u^{'} = y^{″}$ i $u^{″} = y^{‴}$ . У цей спосiб отримуємо диференцiальне рiвняння нижчого порядку. Пiсля цього рiвняння можна розв’язати за допомогою звичайних методiв.

Приклад 1

Розв’яжи диференцiальне рiвняння $y^{‴} - 7 y^{″} + 12 = 0$

Нехай $y^{'} = u$ ; виконуємо пiдстановку:

u^{″} - 7 u^{'} + 12 = 0 .

Отримуємо характеристичне рiвняння

\begin{array}{l} r^{2} - 7 r + 12 & = 0, \\ (r - 4) (r - 3) & = 0 \end{array}

iз розв’язками $r_{1} = 4$ i $r_{2} = 3$ . Вводимо $r_{1}$ i $r_{2}$ у формулу для розв’язку характеристичного рiвняння i отримуємо

u (x) = C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{3 x} .

Тепер потрiбно пiдставити $y^{'} = u$ назад:

y^{'} = C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{3 x} .

Виконавши iнтегрування, отримуємо

\begin{array}{l} y & = \int y^{'} d x \\ = \int C_{1} e^{4 x} + C_{2} e^{3 x} d x \\ = \frac{C_{1}}{4} e^{4 x} + \frac{C_{2}}{3} e^{3 x} + C_{3} . \end{array}

Попередня стаття

Диференціальне рівняння для гармонічних осциляторів

Повернутися