>Способи застосування похідних>Як аналізувати функцію косинуса

Як аналізувати функцію косинуса

Поглянь на функцiю

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d .

Зверни увагу! $\sin x$ i $\cos x$ майже аналогiчнi, тому можемо пiдставити синус замiсть косинуса у функцiї, отримавши приблизно тi самi розрахунки, що й у прикладах нижче.

Як ми знаємо, графiк нормальної функцiї косинуса має форму хвилi, а отже, має декiлька максимумiв, мiнiмумiв та нулiв. Функцiя $f (x)$ дуже схожа, але змiщена i розтягнута порiвняно з нормальною функцiєю косинуса $\cos x$ .

Тригонометрична функцiя з позначеними нулями, максимумами, мiнiмумами й точками перегину.

Iснують простi способи знаходження нулiв, максимумiв, мiнiмумiв i точок перегину функцiї косинуса. Розгляньмо їх нижче.

Правило

Нулi

Щоб знайти нулi

\cos x

, задаємо

x = \frac{π}{2} + n \cdot π

. Щоб знайти нулi для розширеної функцiї косинуса

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d,

потрiбно задати $f (x) = 0$ i знайти $x$ .

Правило

Максимуми

Щоб знайти максимуми

\cos x

, задаємо

\cos x

рiвним 1. Це означає, що максимум має значення

y

, що дорiвнює 1, i значення

x

, задане виразом

x = 0 + n \cdot 2 π

. Щоб знайти максимуми розширеної функцiї косинуса

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d,

використовуємо таке:

Для $A > 0$ значення $y$ максимуму дорiвнює $A + d$ . Якщо $A < 0$ , то значення $y$ максимуму дорiвнює $- A + d$ .
Щоб знайти вiдповiднi значення $x$ , розв’яжи рiвняння $\cos (c x + ϕ) = 1$ для $x$ , якщо $A > 0$ , i $\cos (c x + ϕ) = - 1$ , якщо $A < 0$ .

Правило

Мiнiмуми

Щоб знайти мiнiмуми

\cos x

, задаємо

\cos x

рiвним

- 1

. Це означає, що мiнiмум має значення

y

, що дорiвнює

- 1

, i значення

x

, задане

x = π + n \cdot 2 π

. Щоб знайти мiнiмуми

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d,

використовуємо таке:

Якщо $A > 0$ , значення $y$ мiнiмуму дорiвнює $- A + d$ . Якщо $A < 0$ , значення $y$ мiнiмуму дорiвнює $A + d$ .
Щоб знайти вiдповiднi значення $x$ , розв’яжи рiвняння $\cos (c x + ϕ) = - 1$ для $x$ , якщо $A > 0$ , i $\cos (c x + ϕ) = 1$ , якщо $A < 0$ .

Теорiя

Точки перегину

Для

\cos x

точки перегину тi самi, що й для нулiв. Для

f (x) = A \cos (c x + ϕ) + d

значення $y$ точки перегину становить $d$ . Щоб знайти значення $x$ , розв’язуємо $\cos (c x + ϕ) = 0$ .

Приклад 1

Дано функцiю
$f (x) = 4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) - 2 .$

Знайди нулi, максимуми, мiнiмуми й точки перегину $f$ .

Нулi

Задай

f (x) = 0

i розв’яжи для

x

\begin{array}{l} 4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) - 2 & = 0 \\ \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = \frac{1}{2} \end{array}

Базове тригонометричне рiвняння має розв’язки

\begin{array}{l} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{3} + n \cdot 2 π, \\ π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π . \end{array}

Розв’язуємо рiвняння для $x$ i отримуємо

\begin{array}{l} π x_{1} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ x_{1} & = - \frac{1}{3} + 2 n \\ π x_{2} & = - π + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = - 1 + 2 n \end{array}

Отже, нулi такi:

\dots, (- 1, 0), (- \frac{1}{3}, 0), (1, 0), (\frac{5}{3}, 0), \dots

Максимуми

Оскiльки $4 > 0$ , координата $y$ максимуму дорiвнює

4 - 2 = 2 .

Знаходимо координату $x$ , розв’язавши рiвняння

\begin{array}{l} \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = 1 \\ π x + \frac{2 π}{3} & = 0 + n \cdot 2 π \\ π x & = 0 - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π \\ π x & = - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π \\ x & = - \frac{2}{3} + 2 n \end{array}

Отже, максимуми такi:

\dots, (- \frac{2}{3}, 2), (\frac{4}{3}, 2), (\frac{10}{3}, 2), (\frac{16}{3}, 2), \dots

Зверни увагу! Оскiльки 0 i $- 0$ — це те саме число, розв’язуємо лише одне зi значень, у цьому випадку 0. Отже, отримуємо одне рiвняння, а не два, як це зазвичай вiдбувається, коли ми розв’язуємо тригонометричнi рiвняння з косинусом.

Мiнiмуми

Оскiльки $4 > 0$ , координата $y$ мiнiмуму дорiвнює

- 4 - 2 = - 6 .

Щоб знайти координати $x$ , розв’язуємо рiвняння

\begin{array}{l} \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = - 1 \\ π x + \frac{2 π}{3} & = π + n \cdot 2 π \\ π x & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ x & = - \frac{1}{3} + 2 n \end{array}

Отже, мiнiмуми такi:

\begin{array}{l} \dots, & (- \frac{1}{3}, - 6), (\frac{5}{3}, - 6), (\frac{11}{3}, - 6), \\ (\frac{17}{3}, - 6), \dots \end{array}

\begin{array}{l} \dots, (- \frac{1}{3}, - 6), (\frac{5}{3}, - 6), (\frac{11}{3}, - 6), (\frac{17}{3}, - 6), \dots \end{array}

Зверни увагу!

π

- π

дають однаковий розв’язок рiвняння, тож ми розв’язуємо лише одне зi значень, у цьому випадку

π

. Отже, отримуємо одне рiвняння, а не два, як це зазвичай вiдбувається, коли ми розв’язуємо тригонометричнi рiвняння з косинусом.

Точки перегину

Знаходимо значення $y$ точок перегину, зчитавши значення $d = - 2$ . Потiм знаходимо значення $x$ , розв’язавши рiвняння $\cos (π x + \frac{2 π}{3}) = 0$ . Базове рiвняння має розв’язки $\begin{array}{l} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π, \\ π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π . \end{array}$

Розв’язуємо рiвняння для $x$ i отримуємо:

\begin{array}{l} π x_{1} & = - \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{1} & = - \frac{1}{6} + 2 n \\ π x_{2} & = - \frac{2 π}{3} - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{7 π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = - \frac{7}{6} + 2 n \end{array}

Отже, точки перегину такi:

\begin{array}{l} \dots, & (- \frac{1}{6}, - 2), (\frac{5}{6}, - 2), (\frac{11}{6}, - 2), \\ (\frac{17}{6}, - 2), \dots \end{array}

\begin{array}{l} \dots, (- \frac{1}{6}, - 2), (\frac{5}{6}, - 2), (\frac{11}{6}, - 2), (\frac{17}{6}, - 2), \dots \end{array}

Попередня стаття

Як аналізувати степеневі функції

Наступна стаття

Аналіз показникових функцій

Повернутися